Every multiple-choice question from நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல், Samacheer Kalvi) with the correct option highlighted and a clear, worked explanation. 20 questions in all — free to read in English and Tamil.
Q1
\( \sin^{-1}(\cos x),\ 0 \le x \le \pi \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \pi - x \)
- B. \( x - \dfrac{\pi}{2} \)
- C. \( \dfrac{\pi}{2} - x \)Correct
- D. \( x - \pi \)
Explanation. \( \cos x = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) \) என எழுதலாம். \( 0 \le x \le \pi \) எனும்போது \( \dfrac{\pi}{2}-x \) ஆனது \( \left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right] \) எனும் சைனின் முதன்மை வீச்சகத்திற்குள் அமைகிறது. எனவே \( \sin^{-1}(\cos x)=\dfrac{\pi}{2}-x \).
Q2
\( \sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \dfrac{2\pi}{3} \) எனில், \( \cos^{-1}x + \cos^{-1}y \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \dfrac{2\pi}{3} \)
- B. \( \dfrac{\pi}{3} \)Correct
- C. \( \dfrac{\pi}{6} \)
- D. \( \pi \)
Explanation. எந்த மதிப்புக்கும் \( \sin^{-1}t+\cos^{-1}t=\dfrac{\pi}{2} \) என்பதால், \( (\sin^{-1}x+\cos^{-1}x)+(\sin^{-1}y+\cos^{-1}y)=\pi \). எனவே \( \cos^{-1}x+\cos^{-1}y=\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3} \).
Q3
\( \sin^{-1}\dfrac{3}{5} - \cos^{-1}\dfrac{12}{13} + \sec^{-1}\dfrac{5}{3} - \operatorname{cosec}^{-1}\dfrac{13}{12} \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( 2\pi \)
- B. \( \pi \)
- C. \( 0 \)Correct
- D. \( \tan^{-1}\dfrac{12}{65} \)
Explanation. \( \sec^{-1}\dfrac{5}{3}=\cos^{-1}\dfrac{3}{5} \) மற்றும் \( \operatorname{cosec}^{-1}\dfrac{13}{12}=\sin^{-1}\dfrac{12}{13} \). பதிலிட்டால் \( \left(\sin^{-1}\dfrac{3}{5}+\cos^{-1}\dfrac{3}{5}\right) -\left(\cos^{-1}\dfrac{12}{13}+\sin^{-1}\dfrac{12}{13}\right) =\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}=0 \).
Q4
\( \sin^{-1}x = 2\sin^{-1}\alpha \) எனும் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு இருந்தால்,
- A. \( |\alpha| \le \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)Correct
- B. \( |\alpha| \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
- C. \( |\alpha| < \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
- D. \( |\alpha| > \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Explanation. \( \sin^{-1}x \) ஆனது \( \left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right] \) -ல் மட்டுமே மதிப்பு பெறுவதால் \( -\dfrac{\pi}{2} \le 2\sin^{-1}\alpha \le \dfrac{\pi}{2} \), அதாவது \( -\dfrac{\pi}{4} \le \sin^{-1}\alpha \le \dfrac{\pi}{4} \). எனவே \( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \le \alpha \le \dfrac{1}{\sqrt{2}} \), அதாவது \( |\alpha| \le \dfrac{1}{\sqrt{2}} \).
Q5
\( \sin^{-1}(\cos x) = \dfrac{\pi}{2} - x \) எந்த மதிப்புகளுக்கு மெய்யாகும்?
- A. \( -\pi \le x \le 0 \)
- B. \( 0 \le x \le \pi \)Correct
- C. \( -\dfrac{\pi}{2} \le x \le \dfrac{\pi}{2} \)
- D. \( -\dfrac{\pi}{4} \le x \le \dfrac{3\pi}{4} \)
Explanation. வலப்புறம் \( \dfrac{\pi}{2}-x \) ஆனது சைனின் முதன்மை வீச்சகமான \( \left[-\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{\pi}{2}\right] \) -ல் இருக்கும்போதே சமன்பாடு மெய்யாகும். \( -\dfrac{\pi}{2} \le \dfrac{\pi}{2}-x \le \dfrac{\pi}{2} \) -ஐத் தீர்க்க \( 0 \le x \le \pi \).
Q6
\( \sin^{-1}x+\sin^{-1}y+\sin^{-1}z=\dfrac{3\pi}{2} \) எனில், \( x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}-\dfrac{9}{x^{101}+y^{101}+z^{101}} \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( 0 \)Correct
- B. \( 1 \)
- C. \( 2 \)
- D. \( 3 \)
Explanation. \( \sin^{-1} \) -ன் மீப்பெரு மதிப்பு \( \dfrac{\pi}{2} \). மூன்று உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை \( \dfrac{3\pi}{2} \) ஆக இருக்க, ஒவ்வொன்றும் \( \dfrac{\pi}{2} \) ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே \( x=y=z=1 \). பதிலிட்டால் \( 1+1+1-\dfrac{9}{1+1+1}=3-3=0 \).
Q7
சில \( x \in \mathbb{R} \) -க்கு \( \cot^{-1}x = \dfrac{2\pi}{5} \) எனில், \( \tan^{-1}x \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( -\dfrac{\pi}{10} \)
- B. \( \dfrac{\pi}{5} \)
- C. \( \dfrac{\pi}{10} \)Correct
- D. \( -\dfrac{\pi}{5} \)
Explanation. \( \tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\dfrac{\pi}{2} \) என்பதால் \( \tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{5\pi-4\pi}{10}=\dfrac{\pi}{10} \).
Q8
\( f(x)=\sin^{-1}\sqrt{x-1} \) எனும் சார்பின் சார்பகம் (domain) என்ன?
- A. \( [1,\,2] \)Correct
- B. \( [-1,\,1] \)
- C. \( [0,\,1] \)
- D. \( [-1,\,0] \)
Explanation. \( \sqrt{x-1} \) வரையறுக்கப்பட \( x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \). மேலும் \( \sin^{-1} \) -ன் உள்ளீடு \( [-1,1] \) -ல் இருக்க வேண்டும்; \( \sqrt{x-1}\ge 0 \) ஆதலால் \( 0 \le \sqrt{x-1} \le 1 \Rightarrow 1 \le x \le 2 \). எனவே சார்பகம் \( [1,2] \).
Q9
\( x = \dfrac{1}{5} \) எனில், \( \cos\!\left(\cos^{-1}x + 2\sin^{-1}x\right) \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \dfrac{24}{25} \)
- B. \( -\dfrac{24}{25} \)
- C. \( \dfrac{1}{5} \)
- D. \( -\dfrac{1}{5} \)Correct
Explanation. \( \cos^{-1}x+2\sin^{-1}x=(\cos^{-1}x+\sin^{-1}x)+\sin^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}+\sin^{-1}x \). எனவே \( \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+\sin^{-1}x\right)=-\sin(\sin^{-1}x)=-x=-\dfrac{1}{5} \).
Q10
\( \tan^{-1}\dfrac{1}{4} + \tan^{-1}\dfrac{2}{9} \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \dfrac{1}{2}\cos^{-1}\dfrac{3}{5} \)
- B. \( \dfrac{1}{2}\sin^{-1}\dfrac{3}{5} \)
- C. \( \dfrac{1}{2}\tan^{-1}\dfrac{3}{5} \)
- D. \( \tan^{-1}\dfrac{1}{2} \)Correct
Explanation. \( \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{9}<1 \) ஆதலால் \( \tan^{-1}a+\tan^{-1}b=\tan^{-1}\dfrac{a+b}{1-ab} \) பயன்படுத்தலாம். \( \tan^{-1}\dfrac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{9}} =\tan^{-1}\dfrac{17/36}{34/36}=\tan^{-1}\dfrac{1}{2} \).
Q11
\( f(x)=\sin^{-1}(x^{2}-3) \) எனும் சார்பு வரையறுக்கப்பட \( x \) எந்தக் கணத்தைச் சேரும்?
- A. \( [-1,\,1] \)
- B. \( [\sqrt{2},\,2] \)
- C. \( [-2,\,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},\,2] \)Correct
- D. \( [-2,\,-\sqrt{2}]\cap[\sqrt{2},\,2] \)
Explanation. \( \sin^{-1} \) -ன் சார்பகம் \( [-1,1] \) ஆதலால் \( -1 \le x^{2}-3 \le 1 \), அதாவது \( 2 \le x^{2} \le 4 \Rightarrow \sqrt{2} \le |x| \le 2 \). இதை எண்கோட்டில் எழுதினால் \( x \in [-2,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},2] \).
Q12
\( \cot^{-1}2 \) மற்றும் \( \cot^{-1}3 \) ஆகியவை ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்கள் எனில், மூன்றாவது கோணம் என்ன?
- A. \( \dfrac{\pi}{4} \)
- B. \( \dfrac{3\pi}{4} \)Correct
- C. \( \dfrac{\pi}{6} \)
- D. \( \dfrac{\pi}{3} \)
Explanation. \( \cot^{-1}2+\cot^{-1}3=\tan^{-1}\dfrac{1}{2}+\tan^{-1}\dfrac{1}{3} =\tan^{-1}\dfrac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}=\tan^{-1}1=\dfrac{\pi}{4} \). முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை \( \pi \) ஆதலால் மூன்றாவது கோணம் \( \pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4} \).
Q13
\( \sin^{-1}\!\left(\tan\dfrac{\pi}{4}\right) - \sin^{-1}\sqrt{\dfrac{3}{x}} = \dfrac{\pi}{6} \) எனில், \( x \) ஆனது பின்வரும் எந்தச் சமன்பாட்டின் மூலமாகும்?
- A. \( x^{2}-x-6=0 \)
- B. \( x^{2}-x-12=0 \)Correct
- C. \( x^{2}+x-12=0 \)
- D. \( x^{2}+x-6=0 \)
Explanation. \( \tan\dfrac{\pi}{4}=1 \) ஆதலால் \( \sin^{-1}1=\dfrac{\pi}{2} \). \( \dfrac{\pi}{2}-\sin^{-1}\sqrt{\dfrac{3}{x}}=\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow \sin^{-1}\sqrt{\dfrac{3}{x}}=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \sqrt{\dfrac{3}{x}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow x=4 \). \( x=4 \) ஆனது \( x^{2}-x-12=0 \) -ன் மூலமாகும் (\( 16-4-12=0 \)).
Q14
\( \sin^{-1}(2\cos^{2}x - 1) + \cos^{-1}(1 - 2\sin^{2}x) \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \dfrac{\pi}{2} \)Correct
- B. \( \dfrac{\pi}{3} \)
- C. \( \dfrac{\pi}{4} \)
- D. \( \dfrac{\pi}{6} \)
Explanation. இரட்டைக் கோண சூத்திரத்தால் \( 2\cos^{2}x-1=\cos 2x \) மற்றும் \( 1-2\sin^{2}x=\cos 2x \). எனவே கொடுக்கப்பட்டது \( \sin^{-1}(\cos 2x)+\cos^{-1}(\cos 2x) \). \( \sin^{-1}t+\cos^{-1}t=\dfrac{\pi}{2} \) என்பதால் விடை \( \dfrac{\pi}{2} \).
Q15
\( \cot^{-1}(\sqrt{\sin\alpha}) + \tan^{-1}(\sqrt{\sin\alpha}) = u \) எனில், \( \cos 2u \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \tan^{2}\alpha \)
- B. \( 0 \)
- C. \( -1 \)Correct
- D. \( \tan 2\alpha \)
Explanation. எந்த மெய்யெண் \( t \) -க்கும் \( \cot^{-1}t+\tan^{-1}t=\dfrac{\pi}{2} \). எனவே \( u=\dfrac{\pi}{2} \), அதாவது \( 2u=\pi \). \( \cos 2u=\cos\pi=-1 \).
Q16
\( |x| \le 1 \) எனில், \( 2\tan^{-1}x - \sin^{-1}\dfrac{2x}{1+x^{2}} \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \tan^{-1}x \)
- B. \( \sin^{-1}x \)
- C. \( 0 \)Correct
- D. \( \pi \)
Explanation. \( |x| \le 1 \) -க்கு \( \sin^{-1}\dfrac{2x}{1+x^{2}}=2\tan^{-1}x \) என்னும் முற்றொருமை பொருந்தும். எனவே \( 2\tan^{-1}x-2\tan^{-1}x=0 \).
Q17
\( \tan^{-1}x - \cot^{-1}x = \tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) எனும் சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை தீர்வுகள் உள்ளன?
- A. தீர்வு இல்லை
- B. ஒரே ஒரு தீர்வுCorrect
- C. இரண்டு தீர்வுகள்
- D. எண்ணற்ற தீர்வுகள்
Explanation. \( \tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{6} \). கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டுடன் \( \tan^{-1}x+\cot^{-1}x=\dfrac{\pi}{2} \) -ஐக் கூட்ட \( 2\tan^{-1}x=\dfrac{2\pi}{3} \), அதாவது \( \tan^{-1}x=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow x=\sqrt{3} \). இது ஒரே ஒரு மதிப்பு மட்டுமே; எனவே ஒரே ஒரு தீர்வு.
Q18
\( \sin^{-1}x + \cot^{-1}\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{2} \) எனில், \( x \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)
- B. \( \dfrac{1}{\sqrt{5}} \)Correct
- C. \( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \)
- D. \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Explanation. \( \cot^{-1}\dfrac{1}{2}=\tan^{-1}2 \). எனவே \( \sin^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}2=\cot^{-1}2=\tan^{-1}\dfrac{1}{2} \). எதிர்ப்பக்கம் \( 1 \), அடுத்தபக்கம் \( 2 \) எனில் கர்ணம் \( \sqrt{5} \), எனவே \( \sin=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \). ஆகவே \( x=\dfrac{1}{\sqrt{5}} \).
Q19
\( \sin^{-1}\dfrac{x}{5} + \operatorname{cosec}^{-1}\dfrac{5}{4} = \dfrac{\pi}{2} \) எனில், \( x \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( 4 \)
- B. \( 5 \)
- C. \( 2 \)
- D. \( 3 \)Correct
Explanation. \( \operatorname{cosec}^{-1}\dfrac{5}{4}=\sin^{-1}\dfrac{4}{5} \). எனவே \( \sin^{-1}\dfrac{x}{5}=\dfrac{\pi}{2}-\sin^{-1}\dfrac{4}{5}=\cos^{-1}\dfrac{4}{5} \). ஆகவே \( \dfrac{x}{5}=\sin\!\left(\cos^{-1}\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{3}{5} \Rightarrow x=3 \).
Q20
\( \sin(\tan^{-1}x),\ |x| < 1 \) -ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \( \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
- B. \( \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \)
- C. \( \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)
- D. \( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \)Correct
Explanation. \( \theta=\tan^{-1}x \Rightarrow \tan\theta=x \). செங்கோண முக்கோணத்தில் எதிர்ப்பக்கம் \( x \), அடுத்தபக்கம் \( 1 \), கர்ணம் \( \sqrt{1+x^{2}} \). எனவே \( \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \).
