அளவியல் - பத்தாம் வகுப்பு கணிதம்

அளவியல் பற்றி

நடுத்தரம் ~120 நிமிடப் படிப்பு

நமது அன்றாட வாழ்க்கையில் நாம் காணும் மற்றும் பயன்படுத்தும் பெரும்பாலான பொருட்கள் முப்பரிமாண வடிவம் கொண்டவையாகவே விளங்குகின்றன. உதாரணமாக, நாம் குடிக்கும் நீர்க் குவளைகள், விளையாட்டுப் பந்துகள், கூடாரங்கள் மற்றும் தொழிற்சாலைக் குழாய்கள் ஆகியவை இருபரிமாணத் தளத்தில் வரையறுக்க முடியாத திண்மப் பொருட்களாகும். இத்தகைய முப்பரிமாண வடிவங்களின் வளைந்த பரப்பளவையும் அவற்றின் கொள்ளளவையும் துல்லியமாகக் கணக்கிட வேண்டிய தேவை பொறியியல், வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத் துறைகளில் மிக முக்கியத் தேவையாகக் கருதப்படுகிறது.

இப்பாடத்தில், அடிப்படை முப்பரிமாண திண்மங்களின் வளைபரப்பு மற்றும் கனஅளவுக்கான சூத்திரங்கள் எவ்வாறு தர்க்கரீதியான முறையில் பெறப்படுகின்றன என்பதை விரிவாகப் பயில்கிறோம். குறிப்பாக, உருளையின் கனஅளவு \(V = \\pi r^2 h\) மற்றும் நேர்வட்டக் கூம்பின் கனஅளவு \(V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h\) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான விகிதத் தொடர்பும், கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம் போன்ற வளைந்த திண்மங்களின் சமன்பாடுகளும் இங்கு அழகாக இணைக்கப்பட்டுள்ளன. இக்கோட்பாடுகள் திண்மங்களின் ஆரங்கள் மற்றும் உயரங்களின் விகிதங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளன.

தமிழகப் பள்ளிப் பொதுத்தேர்வு நோக்கில் இப்பாடப்பகுதி மிக உயர்ந்த மதிப்பெண்களைப் பெற்றுத்தரும் பகுதியாகத் திகழ்கிறது. தேர்வுகளில் கேட்கப்படும் வினாக்கள் பெரும்பாலும் சூத்திரங்களை நேரடியாகப் பயன்படுத்துவதாகவும், கூட்டு வடிவங்களின் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் கண்டறிவதாகவும், அல்லது உலோகத் திண்மங்களை உருகவைத்து புதிய வடிவமாக மாற்றும் கனஅளவு மாறா விதிகளின் அடிப்படையிலும் அமைகின்றன. எனவே, இச்சமன்பாடுகளை மனப்பாடம் செய்யாமல் தர்க்கரீதியாகப் புரிந்துகொள்வது தேர்வில் முழு மதிப்பெண் பெற வழிவகுக்கும்.

நீங்கள் கற்பவை

• வட்ட உருளையின் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் கணக்கிடுதல்.
• நேர்வட்டக் கூம்பின் சோயுயரம் மற்றும் வளைபரப்புச் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்.
• கோளம் மற்றும் அரைக்கோளத்தின் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவைக் கண்டறிதல்.
• கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பை மதிப்பிடுதல்.
• கூட்டு வடிவங்களின் மொத்தப் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவைத் தீர்மானித்தல்.
• திண்மங்களின் வடிவ மாற்றங்களின்போது கனஅளவு மாறா விதியைப் பிரயோகித்தல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• இருபரிமாண வடிவங்களான வட்டம், செவ்வகம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு சூத்திரங்கள்.
• அடிப்படை இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள் மற்றும் எண்கணிதக் கணக்கீடுகளைத் தீர்க்கும் திறன்.
• பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள் மற்றும் முக்கோண அளவீடுகள்.

அளவியல் — விரிவான விளக்கம்

அளவியல் பாடத்தின் முக்கியப் பிரிவுகள் மற்றும் கோட்பாடுகள்

நேர்வட்ட உருளை மற்றும் உள்ளீடற்ற உருளை

ஒரு செவ்வக வடிவத் தாளை அதன் ஒரு பக்கத்தை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றுவதன் மூலம் நேர்வட்ட உருளை உருவாகிறது. இதன் வளைபரப்பு \(2 \\pi r h\) சதுர அலகுகளாகும், இங்கு \(r\) என்பது அடிப்புற ஆரத்தையும் \(h\) என்பது உயரத்தையும் குறிக்கும். மொத்தப் புறப்பரப்பு என்பது வளைபரப்புடன் இரு அடிப்புற வட்டப் பரப்புகளின் கூடுதலான \(2 \\pi r(h+r)\) ஆகும். உள்ளீடற்ற உருளை என்பது தடிமன் கொண்ட குழாய் போன்ற அமைப்பாகும், இதன் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் கணக்கிட வெளிப்புற மற்றும் உட்புற ஆரங்களின் (\(R\) மற்றும் \(r\)) மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இவற்றின் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவு சூத்திரங்கள் உலோகக் குழாய்கள் மற்றும் கிணறுகள் அமைப்பதில் முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன.

நேர்வட்டக் கூம்பு மற்றும் இடைக்கண்டம்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செங்குத்துப் பக்கத்தை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றும்போது நேர்வட்டக் கூம்பு உருவாகிறது. இதன் வளைபரப்பு \(\\pi r l\) ஆகும், இங்கு \(l\) என்பது சோயுயரத்தைக் குறிக்கும். பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி சோயுயரம் \(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\) எனப் பெறப்படுகிறது. ஒரு முழுமையான கூம்பை அதன் அடிப்பக்கத்திற்கு இணையாக ஒரு தளத்தால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் அடிப்பகுதி இடைக்கண்டம் எனப்படும். வாலி மற்றும் புனல் போன்ற அன்றாடப் பொருட்கள் இடைக்கண்ட வடிவத்திற்குச் சிறந்த உதாரணங்களாகும். இதன் வளைபரப்பு \(\\pi (R+r) l\) என்ற சமன்பாட்டால் கணக்கிடப்படுகிறது. இக்கோட்பாடுகள் கூடாரங்கள் மற்றும் தொழில்துறை உபகரணங்களின் தயாரிப்பு அளவுகளைக் கணக்கிடப் பயன்படுகின்றன.

கோளம் மற்றும் அரைக்கோளம்

ஒரு அரைவட்டத்தை அதன் விட்டம் வழியாக முழுமையாகச் சுழற்றும்போது கோளம் என்ற முப்பரிமாண வடிவம் கிடைக்கிறது. கோளத்திற்கு வளைபரப்பும் மொத்தப் புறப்பரப்பும் சமமாகவே இருக்கும், அதன் மதிப்பு \(4 \\pi r^2\) ஆகும். ஒரு திண்மக் கோளத்தை அதன் மையப்பகுதி வழியாக இரு சமபாகங்களாக வெட்டும்போது அரைக்கோளம் கிடைக்கிறது. திண்ம அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(3 \\pi r^2\) ஆகவும், உள்ளீடற்ற அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(\\pi (3R^2 + r^2)\) ஆகவும் கணக்கிடப்படுகிறது. இவற்றுக்கான கொள்ளளவு அல்லது கனஅளவைக் கணக்கிட கோளத்தின் கனஅளவு சூத்திரமான \(\\frac{4}{3} \\pi r^3\) பயன்படுத்தப்படுகிறது. விண்மீன்கள், விளையாட்டுப் பந்துகள் மற்றும் வான்வெளிப் பொருட்களின் அளவீடுகளுக்கு இக்கோட்பாடுகள் அடிப்படையாகும்.

இணைந்த உருவங்களின் அளவீடுகள்

தொழிற்சாலைக் கட்டிடங்கள், பொம்மைகள் மற்றும் மருந்து மாத்திரைகள் போன்ற பல பொருட்கள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எளிய முப்பரிமாண வடிவங்கள் இணைந்த கூட்டு வடிவங்களாகவே காணப்படுகின்றன. உதாரணமாக, ஒரு சிலிண்டரின் இருபுறமும் அரைக்கோளங்கள் இணைந்த வடிவம் ஒரு மாத்திரையின் அமைப்பாகும். இத்தகைய இணைந்த திண்மங்களின் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் காணும்போது, வெளியில் கண்ணுக்குப் புலப்படும் பரப்புகள் மட்டுமே கூட்டப்பட வேண்டும்; உள்நோக்கி மறைந்திருக்கும் அடிப்பகுதிகள் சேர்க்கப்படாது. ஆனால், இவற்றின் மொத்தக் கனஅளவு என்பது தனித்தனி வடிவங்களின் கனஅளவுகளின் நேரடிக் கூடுதலாகும். இக்கோட்பாடு தொழில்துறை உற்பத்தியிலும் கட்டுமான வடிவமைப்பிலும் அதிகப் பயன்பாடு உடையதாகும்.

திண்மங்களின் வடிவ மாற்றம்

அளவியலில் மிக முக்கியமான மற்றொரு பகுதி திண்மங்களின் வடிவ மாற்றக் கணக்கீடாகும். ஒரு உலோகக் கோளத்தை உருக்கிப் பல சிறிய கூம்புகளாக மாற்றுவது அல்லது உருளை வடிவக் கிணற்றிலிருந்து தோண்டப்பட்ட மண்ணைக் கொண்டு சதுர வடிவ மேடை அமைப்பது இதற்குச் சிறந்த உதாரணங்களாகும். இத்தகைய வடிவ மாற்றங்களின்போது, வடிவங்கள் மாறினாலும் திண்மத்தின் மொத்தக் கொள்ளளவு அல்லது கனஅளவு எப்போதும் மாறாமல் இருக்கும் என்ற உலகளாவிய இயற்பியல் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு திண்மத்தின் மொத்தக் கனஅளவை புதிய திண்மத்தின் கனஅளவால் வகுப்பதன் மூலம் உருவாக்கப்படக்கூடிய புதிய திண்மங்களின் எண்ணிக்கையை மிக எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• ஆரம் மற்றும் விட்டம் ஆகியவற்றை மாற்றிப் பயன்படுத்துதல்: வினாக்களில் விட்டம் கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், கணக்கீடுகளுக்கு முன்னர் அதை இரண்டால் வகுத்து ஆரமாகக் மாற்ற வேண்டும்.
• உள்ளீடற்ற உருளையின் ஆரங்களை மாற்றுதல்: உட்புற ஆரத்தைக் குறிக்க சிறிய 'r' மற்றும் வெளிப்புற ஆரத்தைக் குறிக்க பெரிய 'R' ஆகியவற்றைச் சரியாகப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
• கூம்பின் உயரம் மற்றும் சோயுயரத்தைக் குழப்புதல்: செங்குத்து உயரம் 'h' மற்றும் சாய்வான சோயுயரம் 'l' ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வித்தியாசத்தைப் புரிந்து பயன்படுத்த வேண்டும்.
• கூட்டுத் திண்மங்களின் பரப்பைக் கூட்டும்போது அடிப்பரப்பைச் சேர்த்தல்: இரு திண்மங்கள் இணையும்போது மறைந்துபோகும் உள்முகப் பரப்புகளை மொத்தப் புறப்பரப்பில் கூட்டக் கூடாது.
• அலகுகளைச் சரியாக எழுதத் தவறுதல்: பரப்பளவைக் கணக்கிடும்போது சதுர அலகுகளையும், கனஅளவைக் கணக்கிடும்போது கன அலகுகளையும் எழுதுவதை உறுதி செய்ய வேண்டும்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

உருளையின் வளைபரப்பிற்கும் மொத்தப் புறப்பரப்பிற்கும் என்ன வித்தியாசம்?

உருளையின் வளைபரப்பு என்பது அதன் வளைந்த பக்க மேற்பரப்பை மட்டுமே குறிக்கும். ஆனால் உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு என்பது அந்த வளைந்த பரப்பளவுடன் உருளையின் மேல் மற்றும் கீழ் பகுதிகளில் அமைந்துள்ள வட்ட வடிவ அடிப்பகுதிகளின் பரப்பளவையும் ஒன்றாகக் கூட்டி முழுமையாகக் கணக்கிடுவதாகும். இது திண்மத்தின் மொத்த வெளிப்புறப் பரப்பைக் குறிக்கும்.

கூம்பின் சோயுயரத்தை எவ்வாறு கண்டறிவது?

கூம்பின் செங்குத்து உயரம் மற்றும் அதன் அடிப்பக்க ஆரம் தெரிந்தால், பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் சோயுயரத்தைக் கண்டறியலாம். சோயுயரம் என்பது ஆரம் மற்றும் செங்குத்து உயரத்தின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலத்திற்குச் சமமாகும். இம்முறை வளைந்த மேற்பரப்பைக் கணக்கிடத் தேவையான சோயுயரத்தின் நீளத்தைத் துல்லியமாகத் தீர்மானிக்க உதவுகிறது.

கூம்பின் இடைக்கண்டம் என்றால் என்ன?

ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் அடிப்பக்கத்திற்கு இணையாக ஒரு தளத்தால் அதன் மேற்பகுதியைக் கத்தரித்து எடுத்த பின்பு எஞ்சியிருக்கும் கீழ் வடிவமே கூம்பின் இடைக்கண்டம் எனப்படும். அன்றாட வாழ்வில் நாம் பயன்படுத்தும் தண்ணீர் வாலி, மின்விளக்கு நிழற்குடை மற்றும் புனல் ஆகியவை இத்தகைய இடைக்கண்ட வடிவத்திற்குச் சிறந்த நடைமுறை உதாரணங்களாகும்.

கூட்டுத் திண்மங்களின் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் கணக்கிடுவது எப்படி?

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட திண்மங்கள் இணையும்போது வெளியில் தெரியும் மேற்பரப்புகளின் பரப்புகளை மட்டுமே கூட்ட வேண்டும். வடிவங்கள் ஒன்றிணையும் உள்முகப் பகுதிகள் கண்ணுக்குத் தெரியாததால், அவற்றின் பரப்புகளை மொத்தப் புறப்பரப்பில் சேர்க்கக் கூடாது. ஆனால், அவற்றின் மொத்தக் கனஅளவு என்பது தனித்தனி வடிவங்களின் கனஅளவுகளின் நேரடிக் கூடுதலாகும்.

ஒரு திண்மத்தை உருக்கி வேறொரு திண்மமாக மாற்றும்போது கனஅளவு மாறுமா?

இல்லை, ஒரு திண்மப் பொருளை உருக்கி மற்றொரு வடிவமாக மாற்றும்போது அதன் வெளிப்புறத் தோற்றம் மற்றும் அளவுகள் மாறினாலும், அதன் ஒட்டுமொத்தக் கொள்ளளவு அல்லது கனஅளவு எப்போதும் மாறாமல் சமமாகவே இருக்கும். இந்த மாறா கனஅளவு விதியின் மூலமே புதிய வடிவங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் அளவுகளைக் கணக்கிடுகிறோம்.

உள்ளீடற்ற கோளத்தின் தடிமன் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?

உள்ளீடற்ற கோளத்தின் தடிமன் என்பது அதன் வெளிப்புற ஆரத்திற்கும் உட்புற ஆரத்திற்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசமாகும். வெளிப்புற ஆரத்தில் இருந்து உட்புற ஆரத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் அதன் தடிமனை நாம் கண்டறியலாம். உள்ளீடற்ற திண்மங்களின் மொத்தப் புறப்பரப்பு மற்றும் கனஅளவைக் கணக்கிட இந்த இரு ஆரங்களின் பயன்பாடு அவசியமானதாகும்.