உறவுகளும் சார்புகளும் - பாடக் குறிப்புகள்

உறவுகளும் சார்புகளும் பற்றி

நடுத்தரம் ~120 நிமிடப் படிப்பு

அறிமுகம்

கணிதவியலின் மிக முக்கியமான மற்றும் அடிப்படையான கருத்துக்களில் உறவுகளும் சார்புகளும் முதன்மையானவை ஆகும். நம் அன்றாட வாழ்க்கையில் பல பொருட்கள் மற்றும் நபர்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்புகளை நாம் காண்கிறோம். இந்தத் தொடர்புகளைக் கணித ரீதியாக விளக்குவதற்குக் கணங்கள் மற்றும் கார்டீசியன் பெருக்கல் ஆகியவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இப்பாடத்தில், கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் எவ்வாறு உறவுகளுக்கு வழிவகுக்கிறது என்பதையும், அந்த உறவுகளில் சில சிறப்பான பண்புகளைக் கொண்டவை எவ்வாறு சார்புகளாக மாறுகின்றன என்பதையும் விரிவாகக் காண்போம். சார்புகள் என்பவை உள்ளீடுகளுக்கும் வெளியீடுகளுக்கும் இடையிலான துல்லியமான தொடர்பைக் குறிக்கும் கணிதக் கருவிகள் ஆகும்.

நீங்கள் கற்பவை

• கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கலைக் கண்டறிந்து அவற்றை வரைபட வடிவில் குறிக்கப் பழகுதல்.
• உறவு என்பது கார்டீசியன் பெருக்கலின் ஒரு குறிப்பிட்ட உட்கணம் என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுதல்.
• சார்புகளை ஒரு சிறப்பான உறவாக அடையாளம் கண்டு அவற்றின் டொமைன் மற்றும் வீச்சகங்களைக் கண்டறிதல்.
• சார்புகளை வரிசைச் சோடிகள், அட்டவணைகள் மற்றும் அம்புக்குறிப் படங்கள் மூலம் குறிக்கும் பல்வேறு முறைகளைக் கற்றல்.
• ஒன்றுக்கொன்றான, மேல் சார்பு போன்ற பல்வேறு சார்புகளின் வகைகளையும் அவற்றின் பண்புகளையும் ஆராய்தல்.
• இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பு மற்றும் அதன் பண்புகளைக் கணக்கிடுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• கணங்கள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகள் (சேர்ப்பு, வெட்டு) பற்றிய அடிப்படை அறிவு.
• எண்களின் வகைகள் (இயல் எண்கள், முழு எண்கள், மெய்யெண்கள்) பற்றிய புரிதல்.
• கார்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக் குறிக்கும் அடிப்படை ஆயத்தொலை வடிவியல் அறிவு.

உறவுகளும் சார்புகளும் — விரிவான விளக்கம்

பாடத்தின் கண்ணோட்டம்

இப்பாடம் பின்வரும் முக்கியப் பிரிவுகளை உள்ளடக்கியுள்ளது:

• கார்டீசியன் பெருக்கல்: இரு வெற்றற்ற கணங்களின் உறுப்புகளை வரிசைச் சோடிகளாக இணைக்கும் முறை.
• உறவுகள்: கார்டீசியன் பெருக்கலின் ஒரு குறிப்பிட்ட உட்கணம், இது குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்கிறது.
• சார்புகள்: ஒரு கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் மற்றொரு கணத்தின் ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புடையதாக இருக்கும் சிறப்பு உறவு.
• சார்புகளைக் குறிக்கும் முறைகள்: சார்புகளைப் படம், அட்டவணை, வரிசைச் சோடிகளின் கணம் மற்றும் வரைபடம் மூலம் காட்சிப்படுத்துதல்.
• சார்புகளின் வகைகள்: ஒன்றுக்கொன்றான, மேல் சார்பு, உட்சார்பு மற்றும் பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்புகள்.
• சார்புகளின் சேர்ப்பு: இரண்டு சார்புகளை இணைத்து ஒரு புதிய கூட்டுச் சார்பை உருவாக்கும் முறை.
• சார்புகளின் வரைபடங்கள்: நேரிய, இருபடி, முப்படி மற்றும் தலைகீழ்ச் சார்புகளை வரைபடங்கள் மூலம் கண்டறிதல்.

சார்புகளைப் பற்றிய ஆழமான புரிதல் மேல்நிலை வகுப்புகலில் கால்குலஸ், இயற்கணிதம் மற்றும் பிற உயர் கணிதப் பிரிவுகளைக் கற்பதற்கு மிக அவசியமான ஒன்றாகும்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• கார்டீசியன் பெருக்கலில் A x B மற்றும் B x A ஆகிய இரண்டும் சமமல்ல (பொதுவாக) என்பதை மறந்துவிடுதல்.
• உறவுகளின் வீச்சகம் (Range) மற்றும் துணைச் சார்பகம் (Co-domain) ஆகிய இரண்டிற்கும் உள்ள வேறுபாட்டைத் தவறாகப் புரிந்துகொள்ளுதல்.
• சார்பகத்தில் (Domain) உள்ள அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் தனித்துவமான நிழல் உரு (Image) இருப்பதைச் சரிபார்க்கத் தவறுதல்.
• சார்புகளின் சேர்ப்பில் g o f மற்றும் f o g ஆகிய இரண்டும் சமமானவை என்று தவறாகக் கருதுதல்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

கார்டீசியன் பெருக்கல் என்றால் என்ன?

இரண்டு வெற்றற்ற கணங்களின் உறுப்புகளை வரிசைச் சோடிகளாக இணைத்து உருவாக்கப்படும் கணமே கார்டீசியன் பெருக்கல் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, A மற்றும் B கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல் A x B எனக் குறிக்கப்படும்.

கார்டீசியன் பெருக்கலில் A x B மற்றும் B x A சமமா?

பொதுவாக, A x B மற்றும் B x A சமமாக இருக்காது. ஆனால், அவற்றின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எப்போதும் சமமாகவே இருக்கும், அதாவது n(A x B) = n(B x A).

உறவு (Relation) என்றால் என்ன?

A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்களுக்கு இடையேயான உறவு R என்பது கார்டீசியன் பெருக்கல் A x B கணத்தின் உட்கணம் (subset) ஆகும்.

சார்பு (Function) என்றால் என்ன?

கணம் X-லிருந்து கணம் Y-க்கான உறவில், X-ன் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு மட்டுமே இருந்தால், அது சார்பு எனப்படும். அனைத்து சார்புகளும் உறவுகளே, ஆனால் அனைத்து உறவுகளும் சார்புகள் அல்ல.

சார்புகளின் வகைகள் யாவை?

ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு, பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்பு, மேல் சார்பு, உட்சார்பு, சமனிச் சார்பு, மாறிலிச் சார்பு மற்றும் இருபுறச் சார்பு ஆகியவை சார்புகளின் முக்கிய வகைகாகும்.

சார்புகளின் சேர்ப்பு (Composition of functions) என்றால் என்ன?

f மற்றும் g என்ற இரு சார்புகளை இணைத்து ஒரு புதிய சார்பை உருவாக்கும் செயல்முறையே சார்புகளின் சேர்ப்பு எனப்படும். இது f o g அல்லது g o f எனக் குறிக்கப்படும்.