பத்தாம் வகுப்பு கணிதம் பொதுத்தேர்வு ஆன்லைன் தயாரிப்பு

கணிதவியல் பற்றி

நடுத்தரம் ~20 மணி நேரப் படிப்பு

கணிதவியல் என்பது உலகளாவிய அறிவியல் புரிதலுக்கும் தர்க்கரீதியான சிந்தனை மேம்பாட்டிற்கும் மிக முக்கியமான அடிப்படையாகும். இந்த பத்தாம் வகுப்பு கணிதப் பாடத்திட்டமானது மாணவர்களின் பகுப்பாய்வுத் திறனை வளர்க்கவும், அன்றாட வாழ்க்கையில் கணிதக் கருத்துகளைப் பயன்படுத்தவும் உதவும் வகையில் மாநிலக் கல்வியியல் ஆராய்ச்சி மற்றும் பயிற்சி நிறுவனத்தால் மிகவும் செம்மையாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இப்பாடங்களை முறையான பயிற்சி மற்றும் புரிதலுடன் கற்பதன் மூலம் மாணவர்கள் எதிர்கால உயர் கல்வியிலும் தொழில்நுட்பத் துறைகளிலும், குறிப்பாக நவீன கணினி அறிவியல் பயன்பாடுகளிலும் எளிதாக சாதிக்க முடியும்.

இப்பாடநூலில் உள்ள ஒவ்வொரு இயலும் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையதாகக் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. முதலாவதாக உறவுகளும் சார்புகளும் என்ற இயலில் தொடங்கி, எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் மூலம் மட்டு எண்கணிதத்தின் அழகையும் கூட்டு மற்றும் பெருக்குத் தொடர்வரிசைகளின் பண்புகளையும் விளக்குகிறது. பின்னர் இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள் மற்றும் வடிவியல் தேற்றங்களின் வாயிலாக வடிவங்களின் விதிகள் கற்பிக்கப்படுகின்றன. மேலும், முக்கோணவியல், ஆயத்தொலை வடிவியல், மற்றும் அளவியல் மூலம் முப்பரிமாணப் பொருட்களைக் கணக்கிடும் திறனும், புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் மூலம் தரவுகளைப் பகுப்பாய்ந்து வாய்ப்புகளைக் கணிக்கவும் மாணவர்களுக்குக் கற்பிக்கப்படுகிறது.

அரசு பொதுத்தேர்வைச் சிறந்த முறையில் எதிர்கொள்ள, மாணவர்கள் கணிதக் கோட்பாடுகளின் தெளிவு மற்றும் துல்லியமான கணக்கீட்டு முறைகளில் அதிக கவனம் செலுத்த வேண்டும். வினாத்தாளில் எளிமையான பலவுள் தெரிவு வினாக்கள் முதல், ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள் மற்றும் வரைபடம், வடிவியல் செய்முறை போன்ற பத்து மதிப்பெண் வினாக்கள் வரை கேட்கப்படும். சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்திருப்பதும், தேல்ஸ் தேற்றம், பிதாகரஸ் தேற்றம் போன்ற முக்கியமான வடிவியல் தேற்றங்களைச் சரியாக எழுதி நிரூபிப்பதும் தேர்வில் அதிக மதிப்பெண்கள் பெற உதவும். முறையான நேர மேலாண்மை மற்றும் தொடர் பயிற்சியே கணிதத் தேர்வில் முழு மதிப்பெண் பெறுவதற்கான சிறந்த வழியாகும்.

நீங்கள் கற்பவை

• கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கல், உறவுகள் மற்றும் சார்புகளின் வகைகளைத் துல்லியமாக வரையறுத்துக் கணக்கிடுதல்.
• யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறை மற்றும் மட்டு எண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி எண்கணிதக் கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணுதல்.
• மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளைத் தீர்ப்பதுடன் அணிகளின் பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்தல்.
• தேல்ஸ், கோண இருசமவெட்டி மற்றும் பிதாகரஸ் போன்ற அடிப்படை வடிவியல் தேற்றங்களை முறையாக நிரூபித்துப் பயன்படுத்துதல்.
• கார்டீசியன் தளத்தில் பலகோணங்களின் பரப்பளவைக் காண்பதுடன் நேர்க்கோட்டின் பல்வேறு வடிவச் சமன்பாடுகளைத் தருவித்தல்.
• முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி நடைமுறை உயரங்கள் மற்றும் தொலைவுகளைக் கணக்கிடுதல்.
• முப்பரிமாணத் திண்மங்கள் மற்றும் இணந்த உருவங்களின் மொத்தப் பரப்பு மற்றும் கன அளவைக் கணக்கிடுதல்.
• தரவுகளின் சிதறல் அளவைகளைக் கண்டறிவதுடன் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடுகள் மற்றும் கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் கணக்கிடுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• ஒன்பதாம் வகுப்பில் படித்த கணங்களின் சேர்ப்பு, வெட்டு போன்ற அடிப்படைக் கணச் செயல்பாடுகள் பற்றிய அறிவு.
• அடிப்படை இயற்கணிதக் கருத்துகள், காரணிப்படுத்துதல் மற்றும் இரு மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறன்.
• முக்கோணங்கள், வட்டங்கள் ஆகியவற்றின் அடிப்படைப் பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் சுற்றளவு, பரப்பளவு காணும் எளிய சூத்திரங்கள்.

கணிதவியல் — பாடத்திட்டம் விரிவாக

பத்தாம் வகுப்பு கணிதப் பாடத்தின் கட்டமைப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு

1. கணங்கள், சார்புகள் மற்றும் எண்கணித அடிப்படைகள்

கணிதத்தின் முதல் அத்தியாயங்கள் மாணவர்களுக்குக் கணங்கள், உறவுகள் மற்றும் சார்புகளின் அடிப்படையை அறிமுகப்படுத்துகின்றன. கார்டீசியன் பெருக்கல் மூலம் இரு கணங்களை இணைத்து, அவற்றிலிருந்து உறவுகளையும், சிறப்பு உறவுகளான சார்புகளையும் மாணவர்கள் அடையாளம் காண்கின்றனர். ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு, மேல் சார்பு, பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்பு, மற்றும் உட்சார்பு போன்ற சார்புகளின் பல்வேறு வகைகளை அம்புக்குறி படம், அட்டவணை, மற்றும் வரைபடங்கள் மூலம் மாணவர்கள் காட்சிப்படுத்துகின்றனர். சார்புகளின் சேர்ப்பு போன்ற கருத்துகளும் இதில் விளக்கப்படுகின்றன. தொடர்ந்து, எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் இயலில் யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் மற்றும் மட்டு எண்கணிதச் செயல்பாடுகள் கற்பிக்கப்படுகின்றன. கூட்டுத் தொடர்வரிசை மற்றும் பெருக்குத் தொடர்வரிசைகளின் பொது உறுப்புகள் மற்றும் அவற்றின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காணும் முறைகளை அறிவதன் மூலம் மாணவர்கள் எண்களின் அமைப்பை ஆழமாகப் புரிந்து கொள்கின்றனர்.

2. இயற்கணிதம் மற்றும் அணிகளின் செயல்பாடுகள்

இயற்கணிதம் என்பது கணிதத்தின் மிக முக்கிய computational ஆற்றலாகும். பத்தாம் வகுப்பில் மாணவர்கள் மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளை நீக்கல் முறையில் தீர்க்கக் கற்றுக் கொள்கின்றனர். பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பொ.வ), மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.பொ.ம), மற்றும் விகிதமுறு கோவைகளை எளிய வடிவில் சுருக்குதல் போன்ற திறன்களைப் பெறுகின்றனர். பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வர்க்கமூலம் காணும் வகுத்தல் முறையும் இங்கு விரிவாகக் கற்பிக்கப்படுகிறது. மேலும், இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையை ஆராய்வதும், வரைபடங்கள் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதும் விளக்கப்படுகிறது. இதன் தொடர்ச்சியாக, நேர் மற்றும் எதிர் மாறுபாடுகள் வரைபடங்கள் மூலம் காட்சிப்படுத்தப்படுகின்றன. இறுதியாக, தரவுகளை வரிசையாகவும் நிரலாகவும் அடுக்கி வைக்கும் 'அணிகள்' அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு, அணிகளின் கூட்டல், கழித்தல், மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் கணித அமைப்புகளுக்கு வலுவான அடித்தளமாக அமைகின்றன.

3. வடிவியல் தேற்றங்கள் மற்றும் முக்கோணவியல் கோட்பாடுகள்

வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் ஆகிய இரண்டும் மாணவர்களின் வடிவம் சார்ந்த மற்றும் கோணம் சார்ந்த சிந்தனைகளை வளர்க்கின்றன. வடிவியல் இயலில், வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் வரைமுறைகள் கற்பிக்கப்படுகின்றன. தேல்ஸ் தேற்றம் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்), கோண இருசமவெட்டி தேற்றம், மற்றும் பிதாகரஸ் தேற்றம் ஆகியவற்றின் முறையான நிரூபணங்களும் அவற்றின் பயன்பாடுகளும் விரிவாக விளக்கப்படுகின்றன. மேலும், வட்டங்கள் மற்றும் தொடுகோடுகள் தொடர்பான தேற்றங்களும், செய்முறை வடிவியலில் தொடுகோடுகள் வரைதலும் கற்பிக்கப்படுகின்றன. முக்கோணவியல் இயல் முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளை நிரூபிப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறது. உயரங்களும் தொலைவுகளும் என்ற பிரிவில், மாணவர்கள் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி, நிஜ உலகப் பொருட்களின் உயரங்களையும் அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட தூரங்களையும் முக்கோணவியல் விகிதங்களைக் கொண்டு கணக்கிடப் பழகுகின்றனர்.

4. ஆயத்தொலை வடிவியல் மற்றும் அளவியல் கணக்கீடுகள்

ஆயத்தொலை வடிவியல் என்பது இயற்கணிதத்தையும் வடிவியலையும் இணைக்கும் ஒரு பாலமாகும். இதில் மாணவர்கள் கார்டீசியன் தளத்தில் புள்ளிகளைக் குறித்து, முக்கோணம் மற்றும் நாற்கரத்தின் பரப்பைக் கணக்கிடுகின்றன. நேர்க்கோட்டின் சாய்வு, சாய்வுக் கோணம் மற்றும் பல்வேறு வடிவங்களில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடுகளைத் (புள்ளி-சாய்வு வடிவம், இரு புள்ளி வடிவம், வெட்டுத்துண்டு வடிவம்) தருவிக்கக் கற்றுக்கொள்கின்றனர். அளவியல் இயல் முப்பரிமாண வடிவங்களின் பரப்பளவு மற்றும் கன அளவைக் கணக்கிட உதவுகிறது. நேர்வட்ட உருளை, நேர்வட்டக் கூம்பு, கோளம், அரைக்கோளம், மற்றும் கூம்பின் இடைக்கண்டம் ஆகியவற்றின் வளைபரப்பு, மொத்தப் புறப்பரப்பு மற்றும் கன அளவு காணும் சூத்திரங்கள் கற்பிக்கப்படுகின்றன. திண்மங்களை ஒரு வடிவத்திலிருந்து மற்றொரு வடிவத்திற்கு மாற்றும்போது கன அளவு மாறாமல் இருக்கும் என்ற கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் மாணவர்கள் பல நடைமுறைக் கணக்குகளைத் தீர்க்கின்றனர்.

5. புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவு பகுப்பாய்வு

தரவுகளைக் கையாளுதல் மற்றும் நிச்சயமற்ற தன்மைகளைக் கணக்கிடுதல் ஆகிய திறன்கள் நவீன உலகிற்கு இன்றியமையாதவை. புள்ளியியல் இயலில், கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளின் சிதறல் அளவைகளான வீச்சு, வீச்சுக் கெழு, விலக்க வர்க்கச் சராசரி, திட்ட விலக்கம், மற்றும் மாறுபாட்டுக் கெழு ஆகியவற்றைக் கணக்கிட மாணவர்கள் பழகுகின்றனர். இது தரவுகளின் சீரான தன்மையை ஒப்பீடு செய்ய உதவுகிறது. நிகழ்தகவு பகுதியில், சமவாய்ப்புச் சோதனைகள், கூறுவெளி, மற்றும் மர வரைபடங்கள் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள், நிரப்பு நிகழ்ச்சிகள் ஆகியவற்றின் கோட்பாடுகள் விளக்கப்பட்டு, நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் மூலம் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிகழ்ச்சிகள் இணைந்து நிகழக்கூடிய வாய்ப்புகள் துல்லியமாகக் கணக்கிடப்படுகின்றன. இது மாணவர்கள் அறிவியல் பூர்வமாகத் தரவுகளைப் பகுப்பாய்வு செய்யப் பெரிதும் உதவுகிறது.

கணிதவியல் பாடத்தை எப்படிப் படிப்பது

பத்தாம் வகுப்பு கணிதத்தில் சிறந்த மதிப்பெண்கள் பெற மாணவர்கள் ஒரு முறையான மற்றும் திட்டமிட்ட ஆய்வுத் திட்டத்தைப் பின்பற்ற வேண்டும். முதலில் அடிப்படை இயல்களைப் புரிந்து கொண்டு, பின்னர் அதிகக் கணக்கீடுகள் தேவைப்படும் இயல்களுக்குச் செல்ல வேண்டும்:

1. அடிப்படை புரிதல்: இயல் 1 (உறவுகளும் சார்புகளும்) மற்றும் இயல் 2 (எண்களும் தொடர்வரிசைகளும்) ஆகியவற்றை முதலில் படித்து தர்க்கரீதியான அறிவை மேம்படுத்தவும்.
2. கணக்கீட்டுப் பயிற்சி: இயல் 3 (இயற்கணிதம்) மற்றும் இயல் 5 (ஆயத்தொலை வடிவியல்) ஆகிய இயல்களில் அதிகப் பயிற்சிக் கணக்குகளைச் செய்து பழகவும்.
3. கோட்பாட்டுத் தெளிவு: இயல் 4 (வடிவியல்) மற்றும் இயல் 6 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் உள்ள முக்கியமான தேற்றங்கள் மற்றும் ஏற்றக்கோண வரைபடங்களை தினசரி எழுதிப் பார்க்கவும்.
4. முப்பரிமாண மற்றும் வாய்ப்புக் கணக்கீடுகள்: இறுதியாக இயல் 7 (அளவியல்) மற்றும் இயல் 8 (புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும்) ஆகியவற்றில் உள்ள சூத்திரங்களை மனனம் செய்து கணக்கிடவும்.

தினமும் குறைந்தது ஒரு மணிநேரம் கணிதப் பயிற்சிகளைச் செய்வதும், வாரந்தோறும் திருப்புதல் தேர்வுகளை எழுதுவதும் தேர்வில் உங்களின் துல்லியத் தன்மையையும் நேர மேலாண்மையையும் அதிகரிக்கும்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• சார்புகளை அடையாளம் காணும்போது, ஒரு உள்ளீட்டிற்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வெளியீடுகள் இருக்காது என்பதைச் சரிபார்க்கத் தவறுவது; எப்போதும் அம்புகுறி அல்லது குத்துக்கோட்டுச் சோதனையைச் செய்யவும்.
• நெகடிவ் எண்களுக்கு மட்டு எண்கணித மீதியைக் கணக்கிடும்போது தவறு செய்வது; எப்போதும் நேர்மறை எண் கிடைக்கும் வரை மட்டு மதிப்பை மீண்டும் மீண்டும் கூட்ட வேண்டும்.
• அணிகளைப் பெருக்கும்போது அவற்றின் வரிசையைச் சரிபார்க்காமல் பெருக்க முயற்சிப்பது; எப்போதும் முதல் அணியின் நிரல் எண்ணிக்கையும் இரண்டாம் அணியின் நிரை எண்ணிக்கையும் சமமாக இருப்பதை உறுதி செய்யவும்.
• முக்கோணவியல் கணக்குகளில் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணத்தைக் குறிக்கும்போது தவறு செய்வது; எப்போதும் கிடைமட்டப் பார்வைக்கோட்டை அடிப்படையாகக் கொண்டு கோணத்தைக் குறிக்கவும்.
• இணைந்த திண்மங்களின் மொத்தப் பரப்பைக் கணக்கிடும்போது மறைந்திருக்கும் உட்புறப் பரப்புகளைக் கழிக்கத் தவறுவது; எப்போதும் வெளிப்புறக் கண்களுக்குத் தெரியும்exposed பரப்பளவை மட்டுமே கூட்ட வேண்டும்.
• நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது இரு நிகழ்ச்சிகளும் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்கத் தவறுவது; வெட்டுப்பகுதி இருந்தால் அதைக் கழிக்க வேண்டும்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

உறவிற்கும் சார்பிற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு என்ன?

இரு கணங்களுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைக் குறிப்பது உறவு ஆகும். ஆனால் ஒரு சார்பு என்பது, மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் துணை மதிப்பகத்தில் ஒரே ஒரு தனித்த நிழல் உரு மட்டுமே இருக்க வேண்டும் என்ற விதியை நிறைவு செய்யும் சிறப்பு உறவாகும்.

எதிர்மறை எண்களுக்கு மட்டு எண்கணித மீதியை எவ்வாறு காண்பது?

எதிர்மறை எண்ணுடன் மட்டு மதிப்பை மீண்டும் மீண்டும் கூட்ட வேண்டும். எப்போது ஒரு பூச்சியம் அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நேர்மறை எண் கிடைக்கிறதோ, அதுவே மீதியாகும். உதாரணத்திற்கு, -5 (மட்டு 3)-க்கு, -5 உடன் 3-ஐ இருமுறை கூட்டினால் நேர்மறை மீதி 1 கிடைக்கும்.

அணிகளின் பெருக்கல் எப்போது சாத்தியமாகும்?

முதல் அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் (columns) இரண்டாவது அணியின் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் (rows) சமமாக இருந்தால் மட்டுமே இரு அணிகளின் பெருக்கல் சாத்தியமாகும். அவ்வாறு இல்லையெனில் அணிகளைப் பெருக்க முடியாது.

வடிவொத்த முக்கோணங்களுக்கும் சர்வ சம முக்கோணங்களுக்கும் என்ன வேறுபாடு?

வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும் ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகளில் இருக்கலாம் (பக்கங்கள் விகிதசமத்தில் இருக்கும்). சர்வ சம முக்கோணங்கள் வடிவம் மற்றும் அளவு ஆகிய இரண்டிலும் முற்றிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் (பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும்).

முக்கோணவியலில் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் எவ்வாறு சமமாகிறது?

ஒருவர் மேலிருந்து கீழே பார்க்கும்போது ஏற்படும் இறக்கக்கோணமும், கீழிருந்து மேலே பார்க்கும்போது ஏற்படும் ஏற்றக்கோணமும் ஒன்றோடொன்று ஒன்றுக்கொன்று சமமான மாற்று உட்கோணங்கள் (alternate interior angles) என்பதால் அவை எப்போதும் சமமாகவே இருக்கும்.

மாறுபாட்டுக் கெழு எதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

மாறுபாட்டுக் கெழு என்பது இரு வெவ்வேறு தரவுகளின் சிதறல் அல்லது சீரான தன்மையை ஒப்பிட்டுப் பார்க்கப் பயன்படும் ஒரு ஒப்பீட்டு அளவையாகும். மாறுபாட்டுக் கெழு குறைவாக இருந்தால், அந்தத் தரவு அதிக சீரான தன்மையைக் கொண்டுள்ளது என்று அர்த்தம்.

நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது?

இரு நிகழ்ச்சிகளில் ஏதேனும் ஒன்று அல்லது இரண்டுமே நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிய இத்தேற்றம் பயன்படுகிறது. P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) என்பதே இத்தேற்றமாகும். ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளுக்கு P(A∩B) = 0 ஆகும்.

திண்மங்களின் உருமாற்றத்தில் கன அளவு மாறுமா?

ஒரு திண்ம உருவத்தை உருககி மற்றொரு திண்ம உருவமாக மாற்றும்போது அதன் மொத்தக் கன அளவு எப்போதும் மாறுவதில்லை. வடிவமும் பரப்பளவும் மாறினாலும், உலோகம் அல்லது பொருளின் அளவு மாறாமல் இருப்பதால் கன அளவு சமமாகவே இருக்கும்.