புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் - 10-ஆம் வகுப்பு கணிதம் பாடம் 8

புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் பற்றி

நடுத்தரம் ~120 நிமிடப் படிப்பு

புள்ளியியல் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடுகள் ஆகியவை நவீன உலகியல் செயல்பாடுகள், அறிவியல் ஆராய்ச்சிகள் மற்றும் முடிவெடுத்தல் செயல்முறைகளில் இன்றியமையாத முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட தரவுத் தொகுப்பில் உள்ள தனித்தனி தரவுப் புள்ளிகள் அவற்றின் மையச் சராசரி மதிப்பிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவி அல்லது சிதறியுள்ளன என்பதைப் புரிந்துகொள்வது புள்ளியியலின் அடிப்படைத் தேவையாகும். இத்தகைய சிதறல்களை அளவிடுவதற்காகவே வீச்சு, திட்ட விலக்கம், மற்றும் விலக்க வர்க்கச் சராசரி போன்ற பரவல் அளவைகள் இப்பாடத்தில் விரிவாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு விளக்கப்படுகின்றன. இவை ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறு புள்ளியியல் சூழல்களில் தரவுகளின் துல்லியத் தன்மையை ஆராயப் பயன்படுகின்றன.

மாறுபாட்டுக் கெழு என்பது இரு வேறுபட்ட தரவுத் தொகுதிகளின் நிலைப்புத் தன்மையையும் சீரான தன்மையையும் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கப் பயன்படும் ஒரு மிகச் சிறந்த ஒப்பீட்டுப் பரவல் அளவையாகும். இதன் மூலம் இரு வெவ்வேறு விளையாட்டு வீரர்கள் அல்லது இரு நிறுவனங்களின் நீண்ட காலச் செயல்பாடுகளில் உள்ள நம்பகத்தன்மையை நாம் எளிதாக ஆராய முடியும். இப்பாடத்தில் இணையாகப் பயிற்றுவிக்கப்படும் நிகழ்தகவுக் கோட்பாடானது, எதிர்காலத்தில் நடைபெறக்கூடிய பல்வேறு நிகழ்வுகளின் சாத்தியக் கூறுகளை அறிவியல் ரீதியாகவும் கணிதவியல் ரீதியாகவும் முன்கூட்டியே துல்லியமாக மதிப்பிடுவதற்கான மிகச் சிறந்த அடிப்படைக் கருவிகளையும் விதிகளையும் மாணவர்களுக்கு எளிமையான முறையில் வழங்குகிறது.

அரசுப் பொதுத்தேர்வுகளைப் பொறுத்தவரை, கணிதப் பாடத்தில் இப்பாடம் மிக முக்கியமான மற்றும் மிக எளிதாக முழுமையான மதிப்பெண்களைப் பெறக்கூடிய ஒரு பகுதியாகக் கருதப்படுகிறது. திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடும் வெவ்வேறு கணித வழிமுறைகள், மாறுபாட்டுக் கெழுவைக் கொண்டு தரவுகளை ஒப்பிடும் கணக்குகள் மற்றும் நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் சார்ந்த ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள் பொதுவாகத் தேர்வுகளில் கட்டாய வினாக்களாகக் கேட்கப்படுகின்றன. எனவே இப்பாடத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகளைத் தெளிவான புரிதலுடன் முழுமையாகப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம் மாணவர்கள் பொதுத்தேர்வில் மிகச் சிறந்த மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும் என்பதில் எவ்வித ஐயமும் இல்லை.

நீங்கள் கற்பவை

• தரவுகளின் வீச்சு மற்றும் வீச்சுக் கெழுவைக் கண்டறிதல்
• திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடும் பல்வேறு கணித முறைகளைப் பயன்படுத்துதல்
• மாறுபாட்டுக் கெழுவைக் கொண்டு தரவுகளின் சீரான தன்மையை ஒப்பிடுதல்
• சமவாய்ப்புச் சோதனைகளுக்கான கூறுவெளியை மர வரைபடம் மூலம் வரைதல்
• நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திச் சிக்கலான கணக்குகளைத் தீர்த்தல்
• நடைமுறைச் சோதனைகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறிந்து சரியான முடிவுகளை எடுத்தல்

தொடங்குவதற்கு முன்

• கூட்டுச் சராசரி, இடைநிலை அளவு மற்றும் முகடு போன்ற மையப்போக்கு அளவைகள்
• கணங்களின் செயல்பாடுகளான சேர்ப்பு, வெட்டு, நிரப்புக்கணம் மற்றும் வென்படங்கள்
• அடிப்படை வர்க்கமூலம் காணும் முறைகள் மற்றும் தசம எண்களின் கணிதச் செயல்பாடுகள்

புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் — விரிவான விளக்கம்

புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் பாடத்தின் முக்கியப் பிரிவுகள்

1. பரவல் அளவைகளின் அறிமுகமும் வீச்சும்

கணிதவியலின் ஒரு முக்கியப் பிரிவான புள்ளியியலில் பரவல் அளவைகள் என்பவை கொடுக்கப்பட்ட தரவுத் தொகுதிகளின் ஒட்டுமொத்தச் சிதறலைத் துல்லியமாக அளவிடப் பயன்படுகின்றன. இவற்றுள் மிகவும் எளிமையான மற்றும் முதலாவது பரவல் அளவை வீச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட தரவின் மிகப்பெரிய மதிப்பிற்கும் அதன் மிகச்சிறிய மதிப்பிற்கும் இடையே உள்ள எளிய வித்தியாசமே வீச்சு என்று வரையறுக்கப்படுகிறது. இது தரவுகளின் பரவல் எல்லையை மிக விரைவாகவும் எளிமையாகவும் கண்டறிய உதவுகிறது என்றாலும், தரவின் அனைத்து இடைப்பட்ட மதிப்புகளையும் இது கணக்கில் எடுத்துக் கொள்வதில்லை. எனவே, இது பரவலைப் பற்றிய முழுமையான மற்றும் துல்லியமான விபரங்களை நமக்குத் தருவதில்லை என்பதால் அடுத்தடுத்த மேம்பட்ட பரவல் அளவைகளான திட்ட விலக்கத்தைக் கற்க வேண்டியது அவசியமாகிறது. இதனால் வீச்சைக் கணக்கிடும்போது நாம் எளிய முறையில் எல்லைகளை மட்டுமே அறிய முடியும். மேலும் வீச்சுக் கெழுவைக் கொண்டு இரண்டு தொகுதிகளை ஒப்பிடலாம்.

2. சராசரி விலக்கம் மற்றும் திட்ட விலக்கம்

தரவுப் புள்ளிகளின் சிதறலை மிகவும் துல்லியமாகவும் நம்பகத்தன்மையுடனும் அளவிட திட்ட விலக்கம் என்னும் அளவை மிக முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. திட்ட விலக்கம் என்பது சராசரியிலிருந்து பெறப்படும் விலக்க வர்க்கச் சராசரியின் நேர் வர்க்கமூலம் ஆகும். இப்பாடத்தில் தொகுக்கப்படாத தனிப்பட்ட தரவுகள் மற்றும் தொகுக்கப்பட்ட வகைப்படுத்தப்பட்ட தரவுகளுக்கு நேரடி முறை, கூட்டுச் சராசரி முறை, ஊகச் சராசரி முறை மற்றும் படி விலக்க முறை ஆகிய நான்கு வெவ்வேறு வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தித் திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடும் கணித முறைகளை மாணவர்கள் முறையாகப் பயின்று தேர்ச்சி பெறுகிறார்கள். இது தரவுப் புள்ளிகளின் உண்மையான விலக்கங்களைக் காட்டும் மிக முக்கிய கருவியாகும். இம்முறைகள் ஒவ்வொன்றும் கணக்கீடுகளை எளிதாக்கும் வகையில் வெவ்வேறு சூழல்களில் மாணவர்களுக்குப் பெரிதும் பயன்படுகின்றன.

3. மாறுபாட்டுக் கெழுவின் பயன்கள்

மாறுபாட்டுக் கெழு என்பது சராசரியையும் திட்ட விலக்கத்தையும் அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு ஒப்பீட்டுப் பரவல் அளவீடாகும். திட்ட விலக்கத்தைச் சராசரியால் வகுத்து நூறால் பெருக்கிப் பெறுவதே மாறுபாட்டுக் கெழு ஆகும். இது இரு வெவ்வேறு தரவுத் தொகுதிகளின் தன்மைகளை ஒப்பிட்டுப் பார்க்கப் பயன்படுகிறது. மாறுபாட்டுக் கெழுவின் மதிப்பு குறைவாக இருந்தால் அத்தரவுத் தொகுதி அதிக சீரான தன்மையுடனும் நம்பகத்தன்மையுடனும் இருக்கும் என்றும், மாறுபாட்டுக் கெழுவின் மதிப்பு அதிகமாக இருந்தால் அது குறைந்த சீரான தன்மை மற்றும் நிலைப்புத் தன்மை உடையது என்றும் முடிவு செய்யப்படுகிறது. இது ஒப்பீட்டுப் பகுப்பாய்வுகளில் மிகவும் முக்கியமான கணித அளவீடாகும். மாறுபாட்டுக் கெழுவைச் சரியாகக் கணக்கிட திட்ட விலக்கம் மற்றும் சராசரியின் துல்லிய மதிப்புகள் அவசியமாகும்.

4. நிகழ்தகவு மற்றும் மர வரைபடம்

நிகழ்தகவு என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சமவாய்ப்புச் சோதனை நிகழ்வின் சாத்தியக்கூறுகளைக் கணித ரீதியாக மதிப்பிடும் எளிய வழியாகும். ஒரு சோதனையின் அனைத்துச் சாத்தியமான விளைவுகளின் தொகுப்பு கூறுவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நாணயம் சுண்டுதல், பகடை உருட்டுதல் மற்றும் சீட்டுக்கட்டுகளிலிருந்து குறிப்பிட்ட சீட்டுகளைத் தேர்ந்தெடுத்தல் போன்ற பல்வேறு சமவாய்ப்புச் சோதனைகளின் கூறுவெளியை எவ்விதத் தவறுமின்றி எளிமையாகப் புரிந்து கொள்ளவும் கூறுவெளியை எழுதவும் மர வரைபடங்கள் பெரிதும் உதவுகின்றன. மர வரைபடத்தின் கிளைகள் அனைத்து விளைவுகளையும் தெளிவாகக் காட்டுவதால் நிகழ்தகவுக் கணக்கீடுகள் மிகவும் சுலபமாகவும் பிழையின்றியும் செய்ய முடிகிறது. இது கூறுவெளியை வரைபடம் மூலம் காட்சிப்படுத்திப் புரிந்துகொள்ள மிகவும் வழிவகுக்கிறது.

5. நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம்

நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் என்பது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நிகழ்ச்சிகளின் சேர்ப்பு நிகழ்ச்சியின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியப் பயன்படும் ஒரு மிக முக்கியமான தேற்றமாகும். இத்தேற்றம் ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகளுக்கும் மற்றும் ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்ச்சிகளுக்கும் தனித்தனியான கணிதச் சூத்திரங்களைக் கொண்டுள்ளது. வென்படங்களின் உதவியுடன் பல்வேறு நிகழ்ச்சிகளின் செயல்பாடுகளையும், அவற்றின் நிரப்பு நிகழ்ச்சிகளையும் கண்டறிந்து, பொதுவான நடைமுறைச் சிக்கல்களுக்குத் துல்லியமாக நிகழ்தகவு மதிப்புகளைக் கணக்கிட இந்தத் தேற்றம் மாணவர்களுக்கு வழிவகை செய்கிறது. இது புள்ளியியலின் மிக உயரிய கணிதப் பயன்பாடாகும். தேர்வு நோக்கில் இத்தேற்றம் சார்ந்த வினாக்கள் மிக முக்கியமானவை மற்றும் எளிமையானவை ஆகும்.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• தர구를 ஏறுவரிசையில் எழுதாமல் வீச்சு மதிப்பை நேரடியாகத் தேர்ந்தெடுப்பது. எப்போதும் முதலில் தரவுகளை ஏறுவரிசையில் அமைத்து எண்களைச் சரிபார்க்க வேண்டும்.
• தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான திட்ட விலக்கத்தைக் கணக்கிடும்போது நிகழ்வெண்களை வர்க்க விலக்கங்களுடன் பெருக்கத் தவறுவது. சூத்திரத்தில் உள்ள fi ஐ சரியாகப் பெருக்க வேண்டும்.
• மாறுபாட்டுக் கெழுவை எழுதும்போது சதவீதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தாமல் விடுவது. மாறுபாட்டுக் கெழு எப்போதுமே சதவீதத்தில் குறிக்கப்பட வேண்டும்.
• ஒன்றையொன்று விலக்காத நிகழ்ச்சிகளுக்குக் கூட்டல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது வெட்டுப் பகுதியின் நிகழ்தகவைக் கழிக்க மறந்துவிடுவது. P(A வெட்டு B) ஐக் கழிக்க வேண்டும்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

திட்ட விலக்கம் என்றால் என்ன அதன் முக்கியத்துவம் என்ன?

திட்ட விலக்கம் என்பது தரவுகள் சராசரியிலிருந்து எவ்வளவு தூரம் பரவியுள்ளன என்பதை அளவிடும் துல்லியமான புள்ளியியல் அளவை ஆகும். இது தரவுகளின் நம்பகத்தன்மையை மதிப்பிடவும் பல்வேறு அறிவியல் ஆய்வுகளிலும் மிக முக்கிய காரணியாகப் பயன்படுகிறது.

வீச்சுக்கும் திட்ட விலக்கத்திற்கும் உள்ள வேறுபாடு என்ன?

வீச்சு என்பது மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகளின் வித்தியாசத்தை மட்டுமே காட்டும் எளிய அளவை ஆகும். ஆனால் திட்ட விலக்கம் தரவின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் சராசரியிலிருந்து மாறுபடுவதைக் கருத்தில் கொண்டு துல்லியமான சிதறல்வழியை அளிக்கிறது.

மாறுபாட்டுக் கெழு எதற்காகப் பயன்படுகிறது?

மாறுபாட்டுக் கெழு இரு வேறுபட்ட தரவுத் தொகுப்புகளின் சீரான தன்மையை ஒப்பிடப் பயன்படுகிறது. குறைந்த மாறுபாட்டுக் கெழு கொண்ட தரவு அதிக நிலைப்புத் தன்மை உடையது என்றும், அதிகக் கெழு கொண்டது குறைந்த நிலைப்புத் தன்மை உடையது என்றும் அறியலாம்.

கூறுவெளி என்றால் என்ன?

ஒரு சமவாய்ப்புச் சோதனையின் சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளின் தொகுப்பு கூறுவெளி எனப்படும். உதாரணமாக ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும்போது கிடைக்கும் பூ மற்றும் தலை ஆகியவை கூறுவெளியின் உறுப்புகள் ஆகும்.

ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் என்றால் என்ன?

ஒரு சோதனையில் இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் ஒரே நேரத்தில் நடைபெற வாய்ப்பில்லை எனில் அவை ஒன்றையொன்று விலக்கும் நிகழ்ச்சிகள் எனப்படும். இவற்றின் வெட்டுப் பகுதியின் நிகழ்தகவு எப்போதும் பூச்சியமாக இருக்கும்.

நிகழ்தகவின் கூட்டல் தேற்றம் எப்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது?

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நிகழ்ச்சிகளில் ஏதேனும் ஒன்று நடைபெறுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிய கூட்டல் தேற்றம் பயன்படுகிறது. இது நிகழ்ச்சிகள் ஒன்றையொன்று விலக்கும் தன்மையைப் பொறுத்து வெவ்வேறு சூத்திரங்களைக் கொண்டுள்ளது.