இயற்கணிதம் - பத்தாம் வகுப்பு கணிதம்

இயற்கணிதம் பற்றி

நடுத்தரம் ~180 நிமிடப் படிப்பு

இயற்கணிதம் என்பது எண்களையும் குறியீட்டு மாறிகளையும் பயன்படுத்திப் பொதுவான அறிவியல் விதிகளை உருவாக்கும் ஒரு மிகச் சிறந்த கணிதக் கருவியாகும். நிஜ உலகப் பிரச்சனைகளைச் சமன்பாடுகளாக வடித்து, அவற்றிற்குத் துல்லியமான தீர்வு காண இயற்கணிதக் கோட்பாடுகள் பெரிதும் உதவுகின்றன. பத்தாம் வகுப்பில் உள்ள இயற்கணிதப் பாடம், வெறும் கோட்பாடுகளாக இல்லாமல், அன்றாட வாழ்வில் திட்டமிடுதல், பொருளாதாரக் கணக்கீடுகள், பொறியியல் வடிவமைப்பு மற்றும் அறிவியல் சார்ந்த பல ஆராய்ச்சிகளுக்கு மிக முக்கியத் தேவையாக அமைகிறது.

இப்பாடத்தில் உள்ள கருத்துகள் மிக நுட்பமான முறையில் ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளன. மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்குத் தீர்வு காண்பதில் தொடங்கி, பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம, விகிதமுறு கோவைகளின் எளிய செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வர்க்கமூலம் காணும் முறைகள் படிப்படியாக விளக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும், இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையைக் கண்டறிதலும், மாறுபாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வரைபடங்கள் போன்ற வடிவியல் விளக்கங்களும் சமன்பாடுகளின் தன்மையைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகின்றன. அணிகள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகள் தரவுகளை வரிசைப்படுத்தவும் கணினியியல் பயன்பாடுகளுக்கும் வழிவகுக்கின்றன.

மாநிலப் பாடத்திட்டத்தின் பொதுத்தேர்வு நோக்கில், இயற்கணிதப் பகுதி மிகக் கூடுதலான மதிப்பெண்களைக் கொண்ட மிக முக்கியமான பிரிவாகும். தேர்வில் கேட்கப்படும் ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்களில் வர்க்கமூலம் காணுதல், வரைபடங்கள் மூலம் தீர்வு காணுதல் மற்றும் அணிகளின் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் போன்ற தலைப்புகள் மிக முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. முறையான படிநிலைகளைப் பின்பற்றி, சூத்திரங்களைச் சரியாகப் பயன்படுத்தித் தொடர்ந்து பயிற்சி செய்யும் மாணவர்கள் தேர்வில் மிக எளிதாக முழு மதிப்பெண்களைப் பெற முடியும். இது உயர் வகுப்புக் கணிதத்தைக் கற்பதற்கான தன்னம்பிக்கையையும் வழங்குகிறது.

நீங்கள் கற்பவை

• மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளை நீக்கல் முறையில் தீர்க்கும் திறனைப் பெறுதல்.
• பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம-வை வகுத்தல் முறை மூலம் கண்டறிதல்.
• விகிதமுறு கோவைகளின் அடிப்படைச் செயல்பாடுகளான பெருக்கல், வகுத்தல், கூட்டல் மற்றும் கழித்தலைச் செய்தல்.
• வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்திப் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வர்க்கமூலத்தைக் கணக்கிடுதல்.
• தன்மைகாட்டியைக் கொண்டு இருபடிச் சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் தன்மையை ஆராய்தல்.
• மாறுபாடுகள் மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளை வரைபடங்கள் மூலம் வரைந்து தீர்வு காணுதல்.
• அணிகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றின் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் செயல்பாடுகளைச் செய்தல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• இரு மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் அடிப்படை முறைகளை அறிந்திருத்தல்.
• காரணிப்படுத்துதல் மற்றும் வகுத்தல் போன்ற பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்பாடுகளைப் புரிந்திருத்தல்.
• அடிப்படை வரைபடக் கருத்துகள், ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் எண்களின் பின்னக் கூட்டல், கழித்தல் முறைகளைத் தெரிந்திருத்தல்.

இயற்கணிதம் — விரிவான விளக்கம்

இயற்கணிதக் கோட்பாடுகளின் விரிவான தொகுப்பு

மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய ஒருங்கமை சமன்பாடுகள்

மூன்று மாறிகளைக் கொண்ட ஒருங்கமை நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பிற்குத் தீர்வு காண்பது இயற்கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான மற்றும் முக்கியமான பகுதியாகும். இதில் நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி, மூன்று மாறிகளை படிப்படியாகக் குறைத்து இரண்டு மாறிகளாகவும், பின்னர் ஒரு மாறியாகவும் மாற்றித் தீர்வு காணப்படுகிறது. இந்தச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பானது ஒரேயொரு தனித்த தீர்வு, எண்ணிக்கையற்ற தீர்வுகள் அல்லது தீர்வுகளற்ற தன்மை ஆகிய மூன்று வகையான முடிவுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். இதனை வடிவியல் ரீதியாக முப்பரிமாண வெளியில் தளங்களின் வெட்டுப்புள்ளிகளைக் கொண்டு மாணவர்கள் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பொதுவான அதிகபட்ச வகுத்தியைக் கண்டறிவது மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பொ.வ) ஆகும். இதில் நீள வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி மீதி பூச்சியம் வரும் வரை வகுத்து மீ.பொ.வ கண்டறியப்படுகிறது. அதேபோல், கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளின் பொதுவான மடங்குகளில் மிகச்சிறிய கோவையை மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.பொ.ம) என்கிறோம். இவ்விரண்டு கோவைகளுக்கும் அவற்றுக்கு இடையேயான பெருக்கற்பலன் தொடர்பு $f(x) \\times g(x) = \\text{GCD} \\times \\text{LCM}$ என்ற சமன்பாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கப்படுகிறது.

விகிதமுறு கோவைகள் மற்றும் அதன் செயல்பாடுகள்

விகிதமுறு கோவைகள் என்பது இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகுத்தல் வடிவம் ஆகும். இவற்றை காரணிப்படுத்துதல் முறை மூலம் தொகுதி மற்றும் பகுதியில் உள்ள பொதுவான காரணிகளை நீக்கி மிக எளிமையான வடிவிற்குச் சுருக்கலாம். விகிதமுறு கோவைகளின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் செயல்பாடுகள், சாதாரண எண்களின் பின்னச் செயல்பாடுகளைப் போன்றே செய்யப்படுகின்றன. மேலும், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, பகுதிகள் வெவ்வேறாக இருந்தால் பகுதியின் மீ.பொ.ம கண்டறிந்து ஓரினக் கோவைகளாக மாற்றித் தீர்வு காண வேண்டும்.

பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வர்க்கமூலம்

ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை மற்றொரு கோவையின் முழு வர்க்கமாக அமையும் போது, அதன் வர்க்கமூலம் காணும் படிநிலைகள் இங்கு விளக்கப்படுகின்றன. சிறிய அடுக்குக் கோவைகளுக்குக் காரணிப்படுத்துதல் முறையும், பெரிய படிகளைக் கொண்ட நீண்ட கோவைகளுக்கு வகுத்தல் முறையும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வகுத்தல் முறையில் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை மாறியின் இறங்கு அல்லது ஏறு வரிசையில் எழுதி, ஒவ்வொரு படிநிலையிலும் புதிய வகுத்தியைக் கொண்டு வர்க்கமூலம் கண்டறிவது மிகவும் துல்லியமான மற்றும் எளிமையான தீர்வை வழங்குகிறது.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் மற்றும் அதன் மூலங்களின் தன்மை

இருபடிச் சமன்பாடுகளைக் காரணிப்படுத்துதல் முறை, வர்க்கப் பூர்த்தி முறை மற்றும் சூத்திர முறை ஆகிய மூன்று முக்கிய முறைகளைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம். அதன் பொது வடிவம் $ax^2 + bx + c = 0$ என்பதாகும். இதனுடைய தன்மைகாட்டி $\Delta = b^2 - 4ac$ இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை விட அதிகமாக, சமமாக அல்லது குறைவாக இருப்பதைக்கொண்டு மூலங்கள் முறையே மெய் மற்றும் சமமற்றவை, மெய் மற்றும் சமமானவை அல்லது மெய்யற்ற கற்பனை மூலங்கள் என வகைப்படுத்தப்படுகிறது. மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் கொண்டு புதிய சமன்பாடுகளை உருவாக்கலாம்.

மாறுபாடுகள் மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வரைபடங்கள்

மாறுபாடுகளின் வரைபடம் இரு மாறிகளுக்கு இடையே உள்ள நேர் மற்றும் எதிர் உறவுகளைக் காட்சிப்படுத்துகிறது. நேர் மாறுபாட்டின் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடாகவும், எதிர் மாறுபாட்டின் வரைபடம் செவ்வக அதிபரவளையமாகவும் அமையும். இருபடிச் சமன்பாடுகளின் வரைபடங்கள் எப்போதும் பரவளைய வடிவிலேயே அமைகின்றன. இந்த வரைபடம் $X$-அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை அடிப்படையாகக் கொண்டு இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளின் எண்ணிக்கையையும் அதன் மெய்த்தன்மையையும் எளிதாக வரைபடம் மூலம் கண்டறியலாம்.

அணிகள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகள்

அணிகள் என்பது எண்கள் அல்லது மாறிகளை நிரை மற்றும் நிரல் வடிவில் செவ்வக அமைப்பாக ஒழுங்குபடுத்தும் நவீன கணித முறையாகும். அணியின் வரிசை, நிறை-நிரல் மாற்று அணி, பூச்சிய அணி, மூலைவிட்ட அணி மற்றும் அலகு அணி போன்ற பல்வேறு வகையான அணிகள் இதில் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒத்த வரிசையுடைய அணிகளை மட்டுமே கூட்டவும் கழிக்கவும் முடியும். அணிகளின் பெருக்கல் செயல்பாட்டிற்கு முதல் அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது அணியின் நிரைகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும் என்ற விதி மிக முக்கியமானது.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• சமன்பாடுகளைக் கழிக்கும்போது குறியீடுகளை மாற்றத் தவறுதல் - சமன்பாடுகளைக் கழிக்கும்போது கழிக்கும் சமன்பாட்டின் அனைத்து உறுப்புகளின் குறியீடுகளையும் கண்டிப்பாக மாற்ற வேண்டும்.
• மீ.பொ.வ காணும்போது மீதியை வகுத்தியாக எழுதாமல் விடுதல் - வகுத்தல் முறையில் கிடைக்கும் மீதியை அடுத்த படிநிலையில் புதிய வகுத்தியாகப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
• விகிதமுறு கோவைகளைக் கூட்டும்போது பகுதிகளை நேரடியாகக் கூட்டுதல் - வெவ்வேறான பகுதிகளைக் கொண்ட கோவைகளைக் கூட்டும்போது முதலில் அவற்றின் மீ.பொ.ம கண்டு ஓரினக் கோவைகளாக மாற்ற வேண்டும்.
• இருபடிச் சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி மதிப்பைத் தவறாகக் கணக்கிடுதல் - தன்மைகாட்டி சூத்திரத்தில் b வர்க்கத்தின் மதிப்பையும் 4ac இன் மதிப்பையும் குறியீடுகளுடன் கவனமாகக் கணக்கிட வேண்டும்.
• அணிகளைப் பெருக்கும்போது ஒத்த உறுப்புகளை நேரடியாகப் பெருக்குதல் - அணிகளின் பெருக்கலின்போது முதல் அணியின் நிரையையும் இரண்டாவது அணியின் நிரலையும் பெருக்கிக் கூட்ட வேண்டும்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

மூன்று மாறிகள் கொண்ட நேரிய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

மூன்று மாறிகள் கொண்ட ஒருங்கமை நேரிய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க நீக்கல் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். முதலில் ஏதேனும் ஒரு மாறியை நீக்கி இரண்டு மாறிகளைக் கொண்ட இரண்டு சமன்பாடுகளை உருவாக்க வேண்டும். பின்னர் அந்த இரு சமன்பாடுகளிலிருந்து மற்றொரு மாறியை நீக்கி ஒரு மாறியின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். கண்டறிந்த மதிப்பை மற்ற சமன்பாடுகளில் பிரதியிட்டு எஞ்சிய மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

பல்லுறுப்புக் கோவையின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம-க்கு உள்ள வேறுபாடு என்ன?

இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்குப் பொதுவான மற்றும் மிகக் குறைந்த அடுக்கு கொண்ட பொதுக் காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் மீ.பொ.வ ஆகும். ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளின் பொதுவான மற்றும் மிக அதிக அடுக்கு கொண்ட காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் மீ.பொ.ம ஆகும். மீ.பொ.வ எப்போதும் கோவைகளை வகுக்கும் காரணியாகவும், மீ.பொ.ம எப்போதும் கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளால் வகுபடும் மடங்காகவும் இருக்கும்.

விகிதமுறு கோவைகளைச் சுருக்குவது எப்படி?

விகிதமுறு கோவையைச் சுருக்க முதலில் அதன் தொகுதி மற்றும் பகுதியில் உள்ள பல்லுறுப்புக் கோவைகளைத் தனித்தனியாகக் காரணிப்படுத்த வேண்டும். அவ்வாறு காரணிப்படுத்திய பின்னர், தொகுதி மற்றும் பகுதியில் பொதுவாக இருக்கும் ஒரே மாதிரியான காரணிகளை நீக்க வேண்டும். எஞ்சியிருக்கும் எளிய காரணிகளின் பெருக்கற்பலனே அந்த விகிதமுறு கோவையின் மிக எளிய சுருங்கிய வடிவம் ஆகும்.

வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காணும்போது பல்லுறுப்புக் கோவையை எவ்வாறு எழுத வேண்டும்?

வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண்பதற்கு முன்பாக, கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவையின் மாறிகளின் அடுக்குகளை இறங்கு வரிசையிலோ அல்லது ஏறு வரிசையிலோ சரியாக எழுத வேண்டும். ஏதேனும் ஒரு அடுக்கு உறுப்பு விடுபட்டிருந்தால், அதற்குப் பதிலாக பூச்சியத்தைக் கெழுவாகக் கொண்டு எழுத வேண்டும். இவ்வாறு மாறிகளின் அடுக்குகளை ஒழுங்குபடுத்துவது கணக்கீட்டுப் பிழைகளைத் தவிர்க்க உதவும்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையை எவ்வாறு கண்டறிவது?

இருபடிச் சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி மதிப்பைத் தன்மைகாட்டி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திக் கணக்கிட வேண்டும். தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூச்சியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை ஆகும். தன்மைகாட்டி பூச்சியத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமானவை ஆகும். தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூச்சியத்தை விடக் குறைவாக இருந்தால் மெய் மூலங்கள் இல்லை.

மாறுபாடுகளின் வரைபடங்கள் ஏன் முக்கியம்?

மாறுபாடுகளின் வரைபடங்கள் இரு மாறிகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்புகளைக் காட்சிப்படுத்த உதவுகின்றன. நேர் மாறுபாட்டில் ஒரு மாறி அதிகரிக்கும்போது மற்றொன்றும் அதிகரிக்கும். இதன் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடாகும். எதிர் மாறுபாட்டில் ஒரு மாறி அதிகரிக்கும்போது மற்றொன்று குறையும். இதன் வரைபடம் செவ்வக அதிபரவளையமாக அமையும். வரைபடம் மூலம் மாறிலியின் மதிப்பை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

அணிகளைப் பெருக்குவதற்கான நிபந்தனை என்ன?

இரு அணிகளைப் பெருக்க வேண்டுமானால், முதல் அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையானது இரண்டாவது அணியின் நிரைகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்பட்டால் மட்டுமே அணிகளின் பெருக்கல் சாத்தியமாகும். அவ்வாறு பெருக்கிக் கிடைக்கும் புதிய அணியின் வரிசையானது முதல் அணியின் நிரை மற்றும் இரண்டாவது அணியின் நிரல் ஆகியவற்றின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு அமையும்.