இயற்கணிதம்: ஒரு மதிப்பெண் ஆன்லைன் தேர்வு (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லை எனில், அத்தொகுப்பைக் குறிக்கும் தளங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாமல் இருக்கும். எனவே, தளங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாது.

விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்: 1) \(x + y - 3z = -6\) 2) \(-7y + 7z = 7\) 3) \(3z = 9 \Rightarrow z = 3\) \(z = 3\) ஐ (2)-ல் பிரதியிட: \(-7y + 7(3) = 7 \Rightarrow -7y + 21 = 7 \Rightarrow -7y = -14 \Rightarrow y = 2\) \(y = 2, z = 3\) ஐ (1)-ல் பிரதியிட: \(x + 2 - 3(3) = -6 \Rightarrow x + 2 - 9 = -6 \Rightarrow x - 7 = -6 \Rightarrow x = 1\) எனவே, தீர்வு \(x = 1, y = 2, z = 3\) ஆகும்.

விளக்கம். \((x - 6)\) என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ. என்பதால், அது \(x^2 - kx - 6\)-யின் ஒரு காரணியாகும். எனவே, \(x = 6\) எனப் பிரதியிட மதிப்பு பூச்சியமாகும்: \(6^2 - k(6) - 6 = 0 \Rightarrow 36 - 6k - 6 = 0 \Rightarrow 30 - 6k = 0 \Rightarrow 6k = 30 \Rightarrow k = 5\).

விளக்கம். \(\frac{3y - 3}{y} \div \frac{7y - 7}{3y^2} = \frac{3(y - 1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y - 1)} = \frac{3 \times 3y}{7} = \frac{9y}{7}\).

விளக்கம். \(\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 = y^2 + \frac{1}{y^2} + 2 \neq y^2 + \frac{1}{y^2}\). மற்ற அனைத்தும் \(y^2 + \frac{1}{y^2}\)-க்குச் சமமாகும்.

விளக்கம். \(\frac{x}{x^2 - 25} - \frac{8}{x^2 + 6x + 5} = \frac{x}{(x-5)(x+5)} - \frac{8}{(x+5)(x+1)}\) மீ.பொ.ம. என்பது \((x-5)(x+5)(x+1)\) ஆகும். தொகுதி \(= x(x+1) - 8(x-5) = x^2 + x - 8x + 40 = x^2 - 7x + 40\). எனவே, சுருங்கிய வடிவம் \(\frac{x^2 - 7x + 40}{(x^2 - 25)(x + 1)}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\sqrt{\frac{256x^8 y^4 z^{10}}{25x^6 y^6 z^6}} = \sqrt{\frac{256}{25} \frac{x^2 z^4}{y^2}} = \frac{16}{5}\left|\frac{x z^2}{y}\right|\).

விளக்கம். \(x^4 + 64 = (x^2)^2 + 8^2\). இதனை ஒரு முழு வர்க்கமாக மாற்ற \(2(x^2)(8) = 16x^2\) என்ற உறுப்பைக் கூட்ட வேண்டும். எனவே, \((x^2 + 8)^2 = x^4 + 16x^2 + 64\) ஆகும்.

விளக்கம். \((2x - 1)^2 = 9 \Rightarrow 2x - 1 = \pm 3\) நிலை 1: \(2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\) நிலை 2: \(2x - 1 = -3 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\) எனவே, தீர்வுகள் \(-1, 2\) ஆகும்.

விளக்கம். \(4x^4 - 24x^3 + 76x^2 + ax + b\) என்பது \((2x^2 - 6x + 10)^2\)-யின் விரிவாகும். \((2x^2 - 6x + 10)^2 = 4x^4 - 24x^3 + 76x^2 - 120x + 100\) ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை ஒப்பிட, \(a = -120, b = 100\) ஆகும்.

விளக்கம். மூலங்களின் தன்மைகளின்படி, மூலங்களின் வர்க்கங்கள் மற்றொரு சமன்பாட்டின் மூலங்களாக அமைந்தால், \(p, q, r\) என்பன பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமையும் (அதாவது, \(p^2 = qr\)). எனவே, அவை பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன.

விளக்கம். நேரிய சமன்பாடு (Linear Equation) \(ax + by + c = 0\) என்பதன் வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகும்.

விளக்கம். \(x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2, -2\). இங்கு மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் என்பதால், வரைபடம் (பரவளையம்) \(X\) அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே தொட்டுச் செல்லும். எனவே, வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்.

விளக்கம். அணி \(A\)-yin வரிசை \(3 \times 4\) (3 நிரைகள், 4 நிரல்கள்). அதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி \(A^T\)-yin வரிசை \(4 \times 3\) ஆகும்.

விளக்கம். \(A_{2 \times 3}\) மற்றும் \(B_{3 \times 4}\) ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி \(AB\)-யின் வரிசை \(2 \times 4\) ஆகும். எனவே, \(AB\) அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.

விளக்கம். நிரல்கள் மற்றும் நிரைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இல்லை எனில் அது செவ்வக அணி எனப்படும். (அதாவது, \(m \neq n\)).

விளக்கம். நிரல் அணியின் வரிசை \(m \times 1\) ஆகும். இதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி \(1 \times m\) வரிசையைக் கொண்டதாக இருக்கும், எனவே அது ஒரு நிரை அணியாகும்.

விளக்கம். \(2X + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix}\) \\ \(2X = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 & 7-3 \\ 9-5 & 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}\) \\ \(X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\).

விளக்கம். \(A\)-yin வரிசை \(3 \times 2\), \(B\)-yin வரிசை \(3 \times 3\) ஆகும். சதுர அணியான \(B\)-க்கு \(B^2\) காண இயலும். மேலும் \(B\)-yin நிரல்களின் எண்ணிக்கை (3) ஆனது \(A\)-yin நிரைகளின் எண்ணிக்கைக்கு (3) சமமாக இருப்பதால், \(BA\) காண இயலும். எனவே (ii) மற்றும் (iv) கணக்கிட முடியும்.

விளக்கம். கொடுக்கப்பட்டவை: \(A_{2 \times 3}\), \(B_{3 \times 2}\) மற்றும் \(C_{2 \times 2}\). \n\(AB = \begin{pmatrix} 1(1)+2(2)+3(0) & 1(0)+2(-1)+3(2) \\ 3(1)+2(2)+1(0) & 3(0)+2(-1)+1(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4 \\ 7&0 \end{pmatrix}\) \n(i) \(AB+C = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}\) (இது சரி) \n(ii) \(BC = \begin{pmatrix} 1(0)+0(-2) & 1(1)+0(5) \\ 2(0)+(-1)(-2) & 2(1)+(-1)(5) \\ 0(0)+2(-2) & 0(1)+2(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}\) (இது சரி) \nஎனவே, (i) மற்றும் (ii) கூற்றுகள் சரி.

விளக்கம். சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, \(z = 6 - 4 = 2\) எனப் பெறுகிறோம். இதனை மூன்றாவது சமன்பாட்டில் பிரதியிட \(y = 3\) என்றும், அதன் மூலம் \(x = 1\) என்றும் கிடைக்கிறது. எனவே தீர்வு \(x=1, y=3, z=2\) ஆகும்.

விளக்கம். ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கும்போது \(0 = 0\) என்ற மெய்யான முற்றொருமை கிடைத்தால், அத்தொகுப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் என பத்தாம் வகுப்பு இயற்கணிதப் பாடப்பகுதி விளக்குகிறது.

விளக்கம். சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைச் சுருக்கும்போது \(0 = 3\) போன்ற தவறான சமன்பாடு கிடைத்தால், அத்தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் அதற்குத் தீர்வு ஏதும் இல்லை என்பது முடிவாகும்.

விளக்கம். இக்கோவைகளின் மீ.பொ.ம \(36x^3y^3\) மற்றும் மீ.பொ.வ \(6x^2y^2\) ஆகும். இவற்றின் விகிதம் \(\frac{36x^3y^3}{6x^2y^2} = 6xy\) ஆகும். எனவே சரியான விடை \(6xy\) ஆகும்.

விளக்கம். \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) மற்றும் \(a^2-ab = a(a-b)\) என காரணிப்படுத்தலாம். இவ்விரண்டு கோவைகளுக்கும் பொதுவான காரணி \((a-b)\) மட்டுமே ஆகும். எனவே இதன் மீ.பொ.வ \((a-b)\) ஆகும்.

விளக்கம். கோவைகளை \((x-2)(x+2)\) மற்றும் \((x-1)(x-2)\) என காரணிப்படுத்தலாம். அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்பது எல்லா பொது மற்றும் பொதுவல்லாத காரணிகளின் பெருக்கற்பலனான \((x-1)(x-2)(x+2)\) ஆகும்.

விளக்கம். விகிதமுறு கோவையின் பகுதி \(x^2 - 16 = 0\) எனும்போது கோவை வரையறுக்கப்படாது. \(x^2 - 16 = 0 \implies x = \pm 4\). எனவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் \(4, -4\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\frac{x^2 - 1}{x+1} \times \frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \times \frac{x}{x-1}\). தொகுதி மற்றும் பகுதியிலுள்ள பொதுவான காரணிகளை நீக்க நமக்கு \(x\) மட்டுமே எஞ்சுகிறது. எனவே விடை \(x\) ஆகும்.

விளக்கம். \(144\)-ன் வர்க்கமூலம் \(12\) ஆகும். அடுக்குகளைப் பாதியாகக் குறைத்தால், \(x^8, y^{12}, z^{16}\) ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம் முறையே \(x^4, y^6, z^8\) ஆகும். எனவே விடை \(12|x^4y^6z^8|\) ஆகும்.

விளக்கம். இச்சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி \(\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(16) = 0\) ஆகும். தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமானவை ஆகும்.

விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் \(a=2, b=-5, c=2\). தன்மைகாட்டி \(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9\) ஆகும்.

விளக்கம். இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = 5\) மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் \(\alpha\beta = \frac{c}{a} = 6\) ஆகும். எனவே முறையே \(5, 6\) ஆகும்.

விளக்கம். அணி \(A\)-ல் இரண்டு நிறைகளும் மூன்று நிரல்களும் உள்ளன. எனவே, அணியின் வரிசையானது நிறை \(\times\) நிரல், அதாவது \(2 \times 3\) ஆகும்.

விளக்கம். ஒரு அணியின் நிரை நிரல் மாற்று அணியானது, அதன் நிறைகளையும் நிரல்களையும் இடமாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எனவே, \(3 \times 2\) அணியின் மாற்று அணியின் வரிசை \(2 \times 3\) ஆகும்.

விளக்கம். இரு அணிகளைப் பெருக்க வேண்டுமானால், முதல் அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் (columns) இரண்டாவது அணியின் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் (rows) சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பது விதி ஆகும்.