இயற்கணிதம் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்திற்கான, பாடநூலில் இல்லாத 15 கூடுதல் வினாக்கள் — ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
\(x + y + z = 6\), \(x + y = 4\) மற்றும் \(y + z = 5\) ஆகிய நேரிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வு யாது?
- A. \(x = 1, y = 3, z = 2\)
- B. \(x = 2, y = 2, z = 2\)
- C. \(x = 3, y = 1, z = 2\)சரி
- D. \(x = 1, y = 2, z = 3\)
விளக்கம். சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது, \(z = 6 - 4 = 2\) எனப் பெறுகிறோம். இதனை மூன்றாவது சமன்பாட்டில் பிரதியிட \(y = 3\) என்றும், அதன் மூலம் \(x = 1\) என்றும் கிடைக்கிறது. எனவே தீர்வு \(x=1, y=3, z=2\) ஆகும்.
Q2
மூன்று மாறிகளில் அமைந்த ஒரு நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கும்போது \(0 = 0\) என்ற முற்றொருமை கிடைத்தால், அத்தொகுப்பிற்கு எத்தகைய தீர்வுகள் இருக்கும்?
- A. ஒரேயொரு தீர்வுசரி
- B. தீர்வு இல்லை
- C. எண்ணற்ற தீர்வுகள்
- D. இரண்டு தீர்வுகள் மட்டும்
விளக்கம். ஒரு சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைத் தீர்க்கும்போது \(0 = 0\) என்ற மெய்யான முற்றொருமை கிடைத்தால், அத்தொகுப்பிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்கும் என பத்தாம் வகுப்பு இயற்கணிதப் பாடப்பகுதி விளக்குகிறது.
Q3
மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பை சுருக்கும்போது \(0 = 3\) போன்ற தவறான முடிவு கிடைத்தால், அத்தொகுப்பிற்கு தீர்வு எவ்வாறு இருக்கும்?
- A. ஒரேயொரு தீர்வு உண்டு
- B. தீர்வு இல்லைசரி
- C. எண்ணற்ற தீர்வுகள் உண்டு
- D. மூன்று தீர்வுகள் உண்டு
விளக்கம். சமன்பாட்டுத் தொகுப்பைச் சுருக்கும்போது \(0 = 3\) போன்ற தவறான சமன்பாடு கிடைத்தால், அத்தொகுப்பு ஒருங்கமைவற்றது மற்றும் அதற்குத் தீர்வு ஏதும் இல்லை என்பது முடிவாகும்.
Q4
\(12x^2y^3\) மற்றும் \(18x^3y^2\) ஆகிய பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) மற்றும் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD) ஆகியவற்றின் விகிதம் யாது?
- A. \(3xy\)
- B. \(6xy\)சரி
- C. \(12x^2y\)
- D. \(18xy^2\)
விளக்கம். இக்கோவைகளின் மீ.பொ.ம \(36x^3y^3\) மற்றும் மீ.பொ.வ \(6x^2y^2\) ஆகும். இவற்றின் விகிதம் \(\frac{36x^3y^3}{6x^2y^2} = 6xy\) ஆகும். எனவே சரியான விடை \(6xy\) ஆகும்.
Q5
\(a^2 - b^2\) மற்றும் \(a^2 - ab\) ஆகிய கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD) யாது?
- A. \(a(a-b)\)சரி
- B. \(a-b\)
- C. \(a+b\)
- D. \(a^2 - b^2\)
விளக்கம். \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\) மற்றும் \(a^2-ab = a(a-b)\) என காரணிப்படுத்தலாம். இவ்விரண்டு கோவைகளுக்கும் பொதுவான காரணி \((a-b)\) மட்டுமே ஆகும். எனவே இதன் மீ.பொ.வ \((a-b)\) ஆகும்.
Q6
\(x^2 - 4\) மற்றும் \(x^2 - 3x + 2\) ஆகிய கோவைகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) காண்க.
- A. \((x-2)(x+2)\)சரி
- B. \((x-1)(x+2)\)
- C. \((x-1)(x-2)(x+2)\)
- D. \((x-2)\)
விளக்கம். கோவைகளை \((x-2)(x+2)\) மற்றும் \((x-1)(x-2)\) என காரணிப்படுத்தலாம். அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்பது எல்லா பொது மற்றும் பொதுவல்லாத காரணிகளின் பெருக்கற்பலனான \((x-1)(x-2)(x+2)\) ஆகும்.
Q7
\(\frac{x+5}{x^2 - 16}\) என்ற விகிதமுறு கோவையின் விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் யாவை?
- A. \(4, -4\)
- B. \(5, -5\)சரி
- C. \(16, -16\)
- D. \(0, 4\)
விளக்கம். விகிதமுறு கோவையின் பகுதி \(x^2 - 16 = 0\) எனும்போது கோவை வரையறுக்கப்படாது. \(x^2 - 16 = 0 \implies x = \pm 4\). எனவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் \(4, -4\) ஆகும்.
Q8
\(\frac{x^2 - 1}{x+1} \times \frac{x}{x-1}\) என்பதன் எளிய வடிவம் யாது?
- A. \(x+1\)
- B. \(x-1\)சரி
- C. \(x\)
- D. \(1\)
விளக்கம். \(\frac{x^2 - 1}{x+1} \times \frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \times \frac{x}{x-1}\). தொகுதி மற்றும் பகுதியிலுள்ள பொதுவான காரணிகளை நீக்க நமக்கு \(x\) மட்டுமே எஞ்சுகிறது. எனவே விடை \(x\) ஆகும்.
Q9
\(144x^8y^{12}z^{16}\) என்ற கோவையின் வர்க்கமூலம் காண்க.
- A. \(12|x^2y^3z^4|\)
- B. \(12|x^4y^6z^8|\)சரி
- C. \(72|x^4y^6z^8|\)
- D. \(12|x^8y^{12}z^{16}|\)
விளக்கம். \(144\)-ன் வர்க்கமூலம் \(12\) ஆகும். அடுக்குகளைப் பாதியாகக் குறைத்தால், \(x^8, y^{12}, z^{16}\) ஆகியவற்றின் வர்க்கமூலம் முறையே \(x^4, y^6, z^8\) ஆகும். எனவே விடை \(12|x^4y^6z^8|\) ஆகும்.
Q10
\(x^2 - 8x + 16 = 0\) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மை யாது?
- A. மெய் மற்றும் சமமற்றவை
- B. மெய் மற்றும் சமமானவைசரி
- C. மெய்யற்றவை
- D. விகிதமுறு மற்றும் சமமற்றவை
விளக்கம். இச்சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி \(\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(16) = 0\) ஆகும். தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமானவை ஆகும்.
Q11
\(2x^2 - 5x + 2 = 0\) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டியின் (Discriminant) மதிப்பு என்ன?
- A. \(9\)
- B. \(-9\)
- C. \(41\)சரி
- D. \(1\)
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் \(a=2, b=-5, c=2\). தன்மைகாட்டி \(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9\) ஆகும்.
Q12
\(x^2 - 5x + 6 = 0\) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் முறையே யாவை?
- A. \(5, 6\)சரி
- B. \(-5, 6\)
- C. \(6, 5\)
- D. \(5, -6\)
விளக்கம். இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha+\beta = -\frac{b}{a} = 5\) மற்றும் மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் \(\alpha\beta = \frac{c}{a} = 6\) ஆகும். எனவே முறையே \(5, 6\) ஆகும்.
Q13
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\) என்ற அணியின் வரிசை (Order of the matrix) என்ன?
- A. \(3 \times 2\)
- B. \(2 \times 3\)சரி
- C. \(2 \times 2\)
- D. \(3 \times 3\)
விளக்கம். அணி \(A\)-ல் இரண்டு நிறைகளும் மூன்று நிரல்களும் உள்ளன. எனவே, அணியின் வரிசையானது நிறை \(\times\) நிரல், அதாவது \(2 \times 3\) ஆகும்.
Q14
\(A\) என்ற அணியின் வரிசை \(3 \times 2\) எனில், அதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி \(A^T\)-ன் வரிசை யாது?
- A. \(3 \times 2\)
- B. \(2 \times 3\)சரி
- C. \(3 \times 3\)
- D. \(2 \times 2\)
விளக்கம். ஒரு அணியின் நிரை நிரல் மாற்று அணியானது, அதன் நிறைகளையும் நிரல்களையும் இடமாற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எனவே, \(3 \times 2\) அணியின் மாற்று அணியின் வரிசை \(2 \times 3\) ஆகும்.
Q15
\(A\) மற்றும் \(B\) ஆகிய அணிகளின் பெருக்கல் \(AB\) வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால், பின்வருவனவற்றில் எந்த நிபந்தனை உண்மையாக இருக்க வேண்டும்?
- A. \(A\)-ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை = \(B\)-ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கைசரி
- B. \(A\)-ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = \(B\)-ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை
- C. \(A\)-ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை = \(B\)-ன் நிரைகளின் எண்ணிக்கை
- D. \(A\)-ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை = \(B\)-ன் நிரல்களின் எண்ணிக்கை
விளக்கம். இரு அணிகளைப் பெருக்க வேண்டுமானால், முதல் அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் (columns) இரண்டாவது அணியின் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் (rows) சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பது விதி ஆகும்.
