10-ஆம் வகுப்பு கணிதம் - எண்களும் தொடர்வரிசைகளும்

எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் பற்றி

நடுத்தரம் ~120 நிமிடப் படிப்பு

பண்டைய காலம் தொட்டே மனித வாழ்வில் எண்கள் மிக முக்கியப் பங்கு வகிக்கின்றன. அன்றாட வாழ்வில் கணக்கிடுதல், அளவிடுதல் மற்றும் ஒழுங்குபடுத்துதல் போன்ற பல்வேறு தேவைகளுக்காக எண்கள் தோன்றின. எண்களின் பண்புகளையும் அவற்றின் பின்னணியில் உள்ள வியத்தகு இரகசியங்களையும் மிக ஆழமாகப் புரிந்துகொள்ள இந்த இயல் நமக்கு வழிவகுக்கிறது. எண்களின் வடிவங்கள், அவற்றின் தொடர்பு மற்றும் தொடர்ச்சியான தன்மையை ஆராய்வது கணிதவியலாளர்களுக்கு என்றும் ஈர்ப்புடையதாக இருந்துள்ளது. இத்தகைய எண்களின் அடிப்படை அமைப்பைக் கற்பதன் மூலம், மாணவர்கள் தங்கள் தர்க்கரீதியான சிந்தனையையும் பகுப்பாய்வு திறன்களையும் மிகச் சிறந்த முறையில் மேம்படுத்திக் கொள்ள முடியும்.

இந்த இயலில் நாம் கற்கும் கருத்துகள் அனைத்தும் ஒன்றுடன் ஒன்று மிக நெருங்கிய தொடர்புடையவை ஆகும். முழு எண்களின் வகுபடும் தன்மையை மிகத் தெளிவாக விளக்கும் யூக்ளிடின் வகுத்தல் தேற்றத்தில் தொடங்கி, கடிகார சுழற்சியைப் போன்ற எண்களின் சுழற்சியைக் குறிக்கும் மட்டு எண்கணிதத்திற்கு இது நம்மை அழைத்துச் செல்கிறது. இந்த ஒழுங்குமுறையின் அடுத்தடுத்த அழகான நீட்சியாகவே கூட்டுத் தொடர்வரிசைகளும் பெருக்குத் தொடர்வரிசைகளும் அமைகின்றன. இவற்றின் மூலம் எண்களின் குறிப்பிட்ட வடிவங்களைக் கண்டறிந்து, அவற்றின் ஒட்டுமொத்த கூடுதல் காணும் சூத்திரங்களை நாம் எளிதாகப் பெற்றுப் பயன்படுத்த முடிகிறது.

பொதுத்தேர்வு நோக்கில் இந்த இயல் மிகவும் முக்கியமான, அதிகக் கேள்விகள் கேட்கப்படும் உயர் மதிப்பெண் பகுதியாகக் கருதப்படுகிறது. கூட்டு மற்றும் பெருக்குத் தொடர்களின் முக்கிய உறுப்புகளின் கூடுதல் காணும் சூத்திரங்கள், மட்டு எண்கணிதத்தில் மாறிலியின் மதிப்பு காணும் கணக்குகள் மற்றும் சிறப்புத் தொடர்கள் ஆகியவை தேர்வுகளில் அடிக்கடி கேட்கப்படும் முக்கிய வினாக்கள் ஆகும். இந்த எளிய கணிதக் கருத்துகளை மாணவர்கள் ஆழமாகப் புரிந்து கொண்டு முறையாகப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம், தேர்வில் எந்தவொரு கடினமான வினாவிற்கும் மிகத் துல்லியமாகவும் வேகமாகவும் விடையளிக்க முடியும் என்பது உறுதியாகும்.

நீங்கள் கற்பவை

• யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் மற்றும் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் கண்டறிதல்.
• அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எண்களின் மீ.பொ.வ மற்றும் மீ.பொ.ம மதிப்புகளைக் கணக்கிடுதல்.
• மட்டு எண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகளைப் புரிந்து கொண்டு அன்றாட வாழ்வியல் கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணுதல்.
• கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு மற்றும் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதலைக் கண்டறியும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல்.
• பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பண்புகளை அறிந்து அதன் உறுப்புகளின் கூடுதல் மற்றும் முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதலைக் கணக்கிடுதல்.
• சிறப்புத் தொடர்களின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இயல் எண்கள், வர்க்கங்கள் மற்றும் கனங்களின் கூடுதலை விரைவாகக் காணுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• முழு எண்கள், பகு எண்கள் மற்றும் பகா எண்கள் பற்றிய அடிப்படை அறிவு.
• எண்களின் வகுபடும் தன்மை மற்றும் மீதி பற்றிய அடிப்படைக் கருத்துகள்.
• இயல் எண்களின் நான்கு அடிப்படைச் செயல்பாடுகள் மற்றும் எளிய இயற்கணிதக் கூட்டல் முறைகள்.

எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் — விரிவான விளக்கம்

இயலின் முக்கியப் பிரிவுகளின் கண்ணோட்டம்

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் மற்றும் வழிமுறை

வகுத்தல் என்பது வெறும் கணக்கீடு மட்டுமல்ல, அது எண்களுக்கு இடையே உள்ள ஒரு முறையான உறவு என்பதை இப்பிரிவு விளக்குகிறது. ஒரு பெரிய மிகை முழு எண்ணை மற்றொரு சிறிய மிகை முழு எண்ணால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் தனித்துவமான ஈவு மற்றும் மீதியின் தொடர்பை இத்தேற்றம் $a = bq + r$ என்ற வடிவில் தருகிறது. இங்கு மீதி எப்போதும் வகுக்கும் எண்ணை விடக் குறைவாகவும் பூச்சியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது அதற்குச் சமமாகவோ இருக்க வேண்டும். இதைப் பயன்படுத்தி இரண்டு மிகப்பெரிய முழு எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியை (மீ.பொ.வ) மிக எளிய படிநிலைகளில் தொடர் வகுத்தல் மூலம் கண்டறியலாம். இதில் பூச்சியத்தை மீதியாகப் பெறும் வரை வகுத்தல் மீண்டும் மீண்டும் தொடரப்பட்டு, இறுதி வகுப்பான் மீ.பொ.வ-வாகக் கண்டறியப்படுகிறது.

அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம்

ஒன்றைத் தவிர மற்ற அனைத்து பகு எண்களையும் பகா எண்களின் பெருக்கற்பலனாக தனித்துவமான முறையில் காரணிப்படுத்த முடியும் என்பதை இத்தேற்றம் உறுதிப்படுத்துகிறது. எண்களின் வரிசையைத் தவிர்த்து இக்காரணிப்படுத்துதல் எப்போதும் மாறாததாகும். இது எண்களின் அடிப்படை கட்டுமானக் கற்களாக பகா எண்கள் விளங்குவதைக் காட்டுகிறது. இக்கோட்பாட்டின் மூலம் எண்களைப் பகா எண்களின் அடுக்குகளாக மாற்றி, அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.பொ.ம) மற்றும் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பொ.வ) ஆகியவற்றை மிக எளிதாகவும் வேகமாகவும் கண்டறியும் முறையை மாணவர்கள் கற்றுக்கொள்கிறார்கள். இத்தத்துவமே குறியாக்கவியல் மற்றும் கணினி அறிவியலின் பல கணக்கீட்டுப் பிரிவுகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது.

மட்டு எண்கணிதம்

மட்டு எண்கணிதம் என்பது எண்களின் எல்லையற்ற வரிசையைக் குறிப்பிட்ட ஒரு நிலையான எண்ணைச் சுற்றி மீண்டும் மீண்டும் சுழலும் ஒரு புதிய அமைப்பாக மாற்றுகிறது. நம் அன்றாட வாழ்வில் பயன்படுத்தும் கடிகார நேரத்தைக் கணக்கிடுவதைப் போன்ற இந்தச் சுழற்சி முறை எண்கணிதம், கணிதத்தில் பல சிக்கலான புதிர்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது. இதன் மூலம் மிகப்பெரிய எண்களின் வகுபடும் தன்மையையும், அவற்றை ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதியையும் மிகக் குறுகிய காலத்தில் கண்டறிந்து எளிமையாகக் கணக்கிட முடியும். நாட்காட்டி கணக்குகள் மற்றும் வார நாட்களைக் கண்டறிய இம்முறை பெரிதும் உதவுகிறது.

கூட்டுத் தொடர்வரிசை மற்றும் தொடர்கள்

முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலையான எண்ணைக் கூட்டுவதன் மூலம் அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் அமையும் எண்களின் ஒழுங்குமுறை கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனப்படும். இந்த நிலையான எண் பொது வித்தியாசம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தொடரின் பொது உறுப்பு $t_n = a + (n-1)d$ கண்டறிவது எப்படி என்பது குறித்தும், கொடுக்கப்பட்ட ஒரு எல்லையுள்ள கூட்டுத் தொடரின் முதல் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதலைக் கண்டறியும் $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ மற்றும் $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ போன்ற சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது குறித்தும் இப்பிரிவில் மாணவர்கள் தெளிவாக அறிந்துகொள்கிறார்கள்.

பெருக்குத் தொடர்வரிசை மற்றும் தொடர்கள்

பூச்சியமற்ற ஒரு முந்தைய உறுப்புடன் நிலையான எண்ணைப் பெருக்குவதன் மூலம் அடுத்த உறுப்பு பெறப்படும் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட எண்களின் வரிசை பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும். இந்த நிலையான எண் பொது விகிதம் எனப்படுகிறது. இத்தொடரின் வளர்ச்சி அல்லது வீழ்ச்சி மிக வேகமாக இருக்கும். இப்பிரிவில், பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு $t_n = a r^{n-1}$ மற்றும் பொது விகிதத்தின் மதிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டு, அதன் முதல் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதலைக் கண்டறியும் பல்வேறு சூத்திரங்களையும், முடிவுறாத் தொடர்களின் கூடுதல் $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ போன்ற சூத்திரங்களையும் மாணவர்கள் கற்றுக்கொள்கிறார்கள்.

சிறப்புத் தொடர்கள்

கணிதத்தில் சில எண்களின் தொடர்கள் எப்போதும் தனித்துவமான வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். முதல் $n$ இயல் எண்களின் கூடுதல், முதல் $n$ ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல், மற்றும் முதல் $n$ இயல் எண்களின் வர்க்கங்கள் மற்றும் கனங்களின் கூடுதல் ஆகியவை சிறப்புத் தொடர்கள் எனப்படுகின்றன. இத்தொடர்களின் கூடுதலைக் கண்டறிவதற்கு நீண்ட கூட்டல் முறையைப் பயன்படுத்தாமல், நேரடியாகச் சிறப்புச் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சில நொடிகளில் விடையைக் கண்டறியும் எளிய வழிமுறைகள் இப்பிரிவில் விரிவாக விளக்கப்பட்டுள்ளன. இவை மாணவர்களின் விரைவான கணக்கீட்டுத் திறனை வளர்க்கின்றன.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• வகுத்தல் தேற்றத்தில் மீதியின் மதிப்பு r எப்போதும் பூச்சியத்திற்குச் சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ மற்றும் வகுப்பானைவிடக் குறைவாகவோ இருக்க வேண்டும் என்பதை மறந்து எதிர்மறை எண்களை மீதியாக எழுதுவது தவறு; மீதி எப்போதும் மிகை எண்ணாகவே இருக்க வேண்டும்.
• அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தில் காரணிப்படுத்தும்போது பகா எண்களைத் தவிர்த்து பகு எண்களைக் காரணியாகப் பயன்படுத்துவது தவறு; எண்களைப் பகா எண்களின் பெருக்கலாக மட்டுமே காரணிப்படுத்த வேண்டும்.
• மட்டு எண்கணிதத்தில் மட்டு m ஐக் கொண்டு வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதியின் மதிப்பு மட்டின் மதிப்பை விடப் பெரியதாக எழுதுவது தவறு; மீதி எப்போதும் மட்டின் மதிப்பை விடக் குறைவாகவே இருக்க வேண்டும்.
• கூட்டுத் தொடரின் n-வது உறுப்பிற்கக்கான சூத்திரத்தையும் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தையும் குழப்பிக் கொண்டு தவறாகப் பயன்படுத்துவது; வினாவில் கேட்கப்பட்டுள்ளது குறிப்பிட்ட உறுப்பா அல்லது ஒட்டுமொத்த கூடுதலா என்பதைத் தெளிவுபடுத்திக் கொள்ள வேண்டும்.
• பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல் காணும்போது பொது விகிதம் r-ன் மதிப்பு ஒன்றைவிடப் பெரியதாக இருக்கும்போதும் அல்லது ஒன்றைவிடக் குறைவாக இருக்கும்போதும் பயன்படுத்த வேண்டிய வெவ்வேறு சூத்திரங்களை மாற்றிப் பயன்படுத்துவது தவறு; r-ன் மதிப்பை முதலில் கண்டறிந்த பின்னரே சரியான சூத்திரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் என்றால் என்ன?

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம் என்பது ஒரு மிகை முழு எண்ணை மற்றொரு மிகை முழு எண்ணால் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் ஈவு மற்றும் மீதிக்கு இடையிலான தொடர்பை விளக்குகிறது. வகுபடும் எண் என்பது வகுக்கும் எண் மற்றும் ஈவின் பெருக்கற்பலனுடன் மீதியைக் கூட்டுவதற்குச் சமமாகும். இதில் மீதி எப்போதும் பூச்சியத்திற்குச் சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண்ணை விடக் குறைவாகவோ இருக்கும்.

மீ.பொ.வ கண்டறிய யூக்ளிடின் வழிமுறை எவ்வாறு பயன்படுகிறது?

இரண்டு பெரிய மிகை முழு எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் கண்டறிய யூக்ளிடின் வகுத்தல் தேற்றம் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பெரிய எண்ணைச் சிறிய எண்ணால் வகுத்து மீதியைக் கண்டறிய வேண்டும். மீதி பூச்சியம் வரும் வரை முந்தைய வகுப்பானை புதிய மீதியால் வகுக்க வேண்டும். மீதி பூச்சியமாக வரும்போது இருக்கும் இறுதி வகுப்பானே அந்த எண்களின் மீப்பெரு பொது வகுதி ஆகும்.

அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம் என்ன?

அடிப்படை எண்ணியல் தேற்றம் என்பது ஒன்றைவிடப் பெரிய எந்தவொரு பகு எண்ணையும் பகா எண்களின் பெருக்கலாக தனித்துவமான முறையில் காரணிப்படுத்த முடியும் என்று கூறுகிறது. இது கணிதத்தில் எண்களின் பகா காரணி அமைப்பை ஆராயவும், எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு மற்றும் மீப்பெரு பொது வகுத்தி ஆகியவற்றை மிக எளிமையாகக் கண்டறியவும் அடிப்படைத் தேவையாக அமைகிறது.

மட்டு எண்கணிதம் என்றால் என்ன அதன் பயன் யாது?

மட்டு எண்கணிதம் என்பது எண்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லையை அடைந்த பிறகு மீண்டும் சுழற்சி முறையில் அமைவதைக் குறிக்கும் கணித வடிவமாகும். கடிகார நேரம் மற்றும் வார நாட்களைக் கணக்கிடுவது இதன் சிறந்த எடுத்துக்காட்டாகும். கணினி அறிவியல், குறியீட்டு முறை மற்றும் பெரிய எண்களின் வகுபடும் தன்மையையும் அவற்றின் மீதிகளையும் மிக எளிமையாகவும் வேகமாகவும் கண்டறிய மட்டு எண்கணிதம் பெரிதும் பயன்படுகிறது.

கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பவது?

கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பைக் கண்டறிய முதல் உறுப்பு மற்றும் பொது வித்தியாசம் ஆகியவற்றைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். முதல் உறுப்புடன் பொது வித்தியாசத்தை கழித்து எழுதப்படும் படிநிலைகளைப் பயன்படுத்தி பொது உறுப்பு சூத்திரம் அமைக்கிறது. வினாவில் கேட்கப்பட்ட உறுப்பின் எண்ணில் இருந்து ஒன்றைக் கழித்து அதனைப் பொது வித்தியாசத்துடன் பெருக்கி முதல் உறுப்புடன் கூட்டினால் பொது உறுப்பின் மதிப்பை எளிதாகப் பெறலாம்.

கூட்டுத் தொடர்வரிசைக்கும் பெருக்குத் தொடர்வரிசைக்கும் உள்ள வேறுபாடு என்ன?

கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் எப்போதும் சமமாக இருக்கும். அதாவது முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு குறிப்பிட்ட எண் கூட்டப்படும். ஆனால் பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள விகிதம் எப்போதும் சமமாக இருக்கும். அதாவது முந்தைய உறுப்புடன் ஒரு குறிப்பிட்ட பூச்சியமற்ற மாறாத எண் பெருக்கப்பட்டு அடுத்த உறுப்பு பெறப்படும் என்பதே இவற்றுக்கு இடையேயான முக்கிய வேறுபாடாகும்.

சிறப்புத் தொடர்கள் என்றால் என்ன?

கணிதத்தில் சில குறிப்பிட்ட வரிசையிலான எண்களின் கூடுதல் எப்போதும் சிறப்புச் சூத்திரங்களின் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல், முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல், இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் மற்றும் அவற்றின் கனங்களின் கூடுதல் ஆகியவை சிறப்புத் தொடர்கள் எனப்படும். இத்தொடர்களின் கூடுதலை நீண்ட கூட்டல் முறையின்றி நேரடியாகச் சூத்திரங்கள் மூலம் மிக விரைவாகக் கணக்கிட முடியும்.