எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின் படி, \(a\) மற்றும் \(b\) என்ற மிகை முழுக்களுக்கு, தனித்த மிகை முழுக்கள் \(q\) மற்றும் \(r\), \(a = bq + r\) என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு \(r\) ஆனது,
- A. (அ) \(1 < r < b\)
- B. (ஆ) \(0 < r < b\)
- C. (இ) \(0 \\le r < b\)சரி
- D. (ஈ) \(0 < r \\le b\)
விளக்கம். யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, மீதி \(r\)-ஆனது எப்போதும் பூச்சியத்திற்குச் சமமாகவோ அல்லது பூச்சியத்தை விடப் பெரியதாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண் \(b\)-ஐ விடச் சிறியதாகவோ இருக்க வேண்டும். இதுவே \(0 \\le r < b\) என எழுதப்படுகிறது.
Q2
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்
- A. (அ) \(0, 1, 8\)சரி
- B. (ஆ) \(1, 4, 8\)
- C. (இ) \(0, 1, 3\)
- D. (ஈ) \(1, 3, 5\)
விளக்கம். எந்தவொரு மிகை முழுவையும் \(3k, 3k+1,\) அல்லது \(3k+2\) என்ற வடிவில் எழுதலாம். இவற்றை கனப்படுத்தும்போது நமக்குக் கிடைக்கும் எண்களை \(9\)-ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் மீதிகள் \(0, 1\) அல்லது \(8\) ஆகும்.
Q3
65 மற்றும் 117-யின் மீ.பொ.வ-வை \(65m - 117\) என்ற வடிவில் எழுதும் போது, \(m\)-யின் மதிப்பு
- A. (அ) 4
- B. (ஆ) 2சரி
- C. (இ) 1
- D. (ஈ) 3
விளக்கம். 65 மற்றும் 117-ன் பகா காரணி முறையிலான காரணிகள்: \(65 = 5 \\times 13\) மற்றும் \(117 = 3^2 \\times 13\) ஆகும். எனவே, மீ.பொ.வ \(= 13\). கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(65m - 117 = 13 \\implies 65m = 130 \\implies m = 2\) ஆகும்.
Q4
1729-ஐ பகா காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்
- A. (அ) 1
- B. (ஆ) 2
- C. (இ) 3சரி
- D. (ஈ) 4
விளக்கம். \(1729\)-ன் பகா காரணிப்படுத்துதல்: \(1729 = 7^1 \\times 13^1 \\times 19^1\). இவற்றின் அடுக்குகளின் கூடுதல் \(1 + 1 + 1 = 3\) ஆகும்.
Q5
1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்
- A. (அ) 2025
- B. (ஆ) 5220
- C. (இ) 5025
- D. (ஈ) 2520சரி
விளக்கம். 1 முதல் 10 வரையிலான எண்களின் மீ.பொ.ம (LCM) ஆனது, பகா எண்களின் மிக உயர்ந்த அடுக்குகளின் பெருக்கல் பலனாகக் கண்டறியப்படுகிறது: \(2^3 \\times 3^2 \\times 5 \\times 7 = 8 \\times 9 \\times 5 \\times 7 = 2520\) ஆகும்.
Q6
\(7^{4k} \\equiv\) _____ \(\\pmod{100}\)
- A. (அ) 1சரி
- B. (ஆ) 2
- C. (இ) 3
- D. (ஈ) 4
விளக்கம். \(7^2 = 49\), \(7^4 = 2401 \\equiv 1 \\pmod{100}\). எனவே, \(7^{4k} = (7^4)^k \\equiv 1^k \\equiv 1 \\pmod{100}\) ஆகும்.
Q7
\(F_1 = 1, F_2 = 3\) மற்றும் \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) எனக் கொடுக்கப்படின், \(F_5\) ஆனது
- A. (அ) 3
- B. (ஆ) 5
- C. (இ) 8
- D. (ஈ) 11சரி
விளக்கம். வரையறுக்கப்பட்ட தொடரின்படி: \(F_3 = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4\); \(F_4 = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7\); \(F_5 = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11\) ஆகும்.
Q8
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4 எனில், பின்வரும் எண்களில் எது இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும்?
- A. (அ) 4551
- B. (ஆ) 10091
- C. (இ) 7881சரி
- D. (ஈ) 13531
விளக்கம். கூட்டுத் தொடரின் பொது உறுப்பு: \(t_n = a + (n-1)d = 1 + (n-1)4 = 4n - 3\). எனவே, இத்தொடரின் உறுப்பை \(4\)-ஆல் வகுத்தால் மீதி \(1\) கிடைக்கும். கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் \(7881\) மட்டுமே \(4n - 3\) என்ற வடிவில் அமைகிறது (\(7881 = 4(1971) - 3\)).
Q9
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6-வது உறுப்பின் 6 மடங்கும் 7-வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 13-வது உறுப்பு
- A. (அ) 0சரி
- B. (ஆ) 6
- C. (இ) 7
- D. (ஈ) 13
விளக்கம். கூட்டுத் தொடரின் விதியின்படி: \(6 \\times t_6 = 7 \\times t_7 \\implies 6(a + 5d) = 7(a + 6d) \\implies 6a + 30d = 7a + 42d \\implies a + 12d = 0\). இங்கு \(t_{13} = a + 12d\) என்பதால், 13-வது உறுப்பு \(0\) ஆகும்.
Q10
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு \(m\) எனில், அந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்
- A. (அ) 16 m
- B. (ஆ) 62 m
- C. (இ) 31 mசரி
- D. (ஈ) \(\\frac{31}{2}\) m
விளக்கம். 31 உறுப்புகளின் கூடுதல்: \(S_{31} = \\frac{31}{2} [2a + (31-1)d] = \\frac{31}{2} [2a + 30d] = 31(a + 15d)\). இங்கு 16-வது உறுப்பு \(t_{16} = a + 15d = m\). எனவே, கூடுதல் \(31m\) ஆகும்.
Q11
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4 ஆகும். இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் எத்தனை உறுப்புகளைக் கூட்டினால் அதன் கூடுதல் 120 கிடைக்கும்?
- A. (அ) 6
- B. (ஆ) 7
- C. (இ) 8சரி
- D. (ஈ) 9
விளக்கம். கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் கூடுதல் \(S_n = \\frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = 120\) எனில், \(a = 1, d = 4\) எனப் பிரதியிட வேண்டும். இதனால் நமக்கு \(n(2n-1) = 120 \\implies 2n^2 - n-120 = 0\) என்ற இருபடிச் சமன்பாடு கிடைக்கும். இதனைத் தீர்த்தால் \(n = 8\) என்ற மிகை முழுத் தீர்வு கிடைக்கும்.
Q12
\(A = 2^{65}\) மற்றும் \(B = 2^{64} + 2^{63} + 2^{62} + \\dots + 2^0\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனில், பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?
- A. (அ) B ஆனது A-ஐ விட \(2^{64}\) அதிகம்
- B. (ஆ) A மற்றும் B சமம்
- C. (இ) B ஆனது A-ஐ விட 1 அதிகம்
- D. (ஈ) A ஆனது B-ஐ விட 1 அதிகம்சரி
விளக்கம். \(B = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \\dots + 2^{64}\) என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர் ஆகும். இதன் கூடுதல் \(S_n = \\frac{a(r^n-1)}{r-1} \\implies B = \\frac{1(2^{65}-1)}{2-1} = 2^{65}-1\) ஆகும். எனவே, \(A = 2^{65}\) மற்றும் \(B = 2^{65}-1\) ஆகியவற்றை ஒப்பிடும்போது, \(A\) ஆனது \(B\)-ஐ விட \(1\) அதிகமாகும்.
Q13
\(\\frac{3}{16}, \\frac{1}{8}, \\frac{1}{12}, \\frac{1}{18}, \\dots\) என்ற தொடர்வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
- A. (அ) \(\\frac{1}{24}\)
- B. (ஆ) \(\\frac{1}{27}\)சரி
- C. (இ) \(\\frac{2}{3}\)
- D. (ஈ) \(\\frac{1}{81}\)
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்கள்: \(r = \\frac{1/8}{3/16} = \\frac{2}{3}\). இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையாகும். இதன் அடுத்த உறுப்பானது நான்காவது உறுப்பான \(\\frac{1}{18}\)-ஐ பொது விகிதம் \(\\frac{2}{3}\)-ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் கிடைக்கும்: \(\\frac{1}{18} \\times \\frac{2}{3} = \\frac{1}{27}\) ஆகும்.
Q14
\(t_1, t_2, t_3, \\dots\) என்பது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை எனில், \(t_6, t_{12}, t_{18}, \\dots\) என்ற தொடர்வரிசையானது
- A. (அ) ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை
- B. (ஆ) ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசைசரி
- C. (இ) ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையுமல்ல, பெருக்குத் தொடர்வரிசையுமல்ல
- D. (ஈ) ஒரு மாறிலித் தொடர்வரிசை
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் சம இடைவெளிகளில் (\(6\) உறுப்புகள்) தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுள்ளதால், அவற்றின் பொது வித்தியாசம் \(t_{12} - t_6 = 6d\) மற்றும் \(t_{18} - t_{12} = 6d\) என சமமாக அமையும். எனவே, இப்புதிய தொடர்வரிசையும் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையாகும்.
Q15
\((1^3 + 2^3 + 3^3 + \\dots + 15^3) - (1 + 2 + 3 + \\dots + 15)\)-யின் மதிப்பு
- A. (அ) 14400
- B. (ஆ) 14200
- C. (இ) 14280சரி
- D. (ஈ) 14520
விளக்கம். முதல் \(15\) இயல் எண்களின் கூடுதல்: \(\\sum_{i=1}^{15} i = \\frac{15 \\times 16}{2} = 120\) ஆகும். முதல் \(15\) இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல்: \(\\sum_{i=1}^{15} i^3 = 120^2 = 14400\) ஆகும். இவற்றின் வித்தியாசம் \(14400 - 120 = 14280\) ஆகும்.
