வடிவியல் - பத்தாம் வகுப்பு கணிதம்

வடிவியல் பற்றி

நடுத்தரம் ~120 நிமிடப் படிப்பு

வடிவியல் என்பது வெறும் வரைபடங்கள் சார்ந்த படிப்பு மட்டுமல்ல, அது நம்மைச் சுற்றியுள்ள முப்பரிமாண உலகின் தர்க்கரீதியான அமைப்பைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் ஒரு சிறந்த கணிதக் கருவியாகும். கட்டிடக் கலை, நவீன பொறியியல், வரைபட வடிவமைப்பு மற்றும் விண்வெளி ஆய்வு போன்ற பல்வேறு நடைமுறைத் துறைகளில் வடிவவியலின் முக்கிய கோட்பாடுகள் அடிப்படைத் தேவையாக விளக்குகின்றன. இப்பாடப்பகுதி மாணவர்களுக்கு வெறும் சூத்திரங்களை மட்டும் மனப்பாடம் செய்யாமல், வடிவங்களின் தன்மைகளையும் அவற்றுக்கு இடையேயான வடிவவியல் தொடர்புகளையும் தர்க்கரீதியாக நிரூபிக்கும் அறிவியல் பூர்வமான திறனை வளர்ப்பதற்காக மிகச் சிறப்பாக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

இப்பாடத்தில் உள்ள கணிதக் கருத்துகள் அனைத்தும் ஒன்றோடொன்று மிக அழகாக இணைந்துள்ளன. முக்கோணங்களின் ஒத்த தன்மைகளை விளக்கும் வடிவொப்புமைக் கோட்பாட்டில் தொடங்கி, அது அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றம் மற்றும் கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின் மூலம் பக்கங்களின் விகிதத் தொடர்புகளை விரிவாக விளக்குகிறது. இந்தத் தர்க்கரீதியான வளர்ச்சி பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் மூலம் செங்கோண முக்கோணங்களின் பக்கங்களுக்கு இடையேயான தொடர்பை மிகத் துல்லியமாக உறுதி செய்கிறது. இறுதியாக, வட்டங்கள், அவற்றின் நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளின் பண்புகள் வழியாகச் சென்று ஒருங்கிசைவுத் தேற்றங்களில் இக்கோட்பாடுகள் யாவும் மிகச் சிறப்பாக நிறைவடைகின்றன.

பொதுத் தேர்வை எதிர்கொள்ளும் பத்தாம் வகுப்பு மாணவர்களுக்கு இப்பாடப்பகுதி மிக முக்கியப் பங்காற்றுகிறது. முக்கியத் தேற்றங்களின் தர்க்கரீதியான நிரூபணங்கள், வடிவவியலின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தும் ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள் மற்றும் முக்கோணம், தொடுகோடு வரைதல் போன்ற செய்முறை வடிவியல் வரைபடங்கள் ஆகியவை தேர்வில் அதிக மதிப்பெண்களைப் பெற்றுத் தரும் முக்கியப் பகுதிகளாகும். கோட்பாடுகளை ஆழமாகப் புரிந்து கொண்டு அவற்றை வினாக்களில் சரியாகப் பிரதியிடும் மாணவர்களின் பகுப்பாய்வுத் திறனைச் சோதிக்கும் வகையில் தேர்வுக் கேள்விகள் அமைகின்றன. எனவே, இப்பாடத்தை முறையான தர்க்கப் பயிற்சியுடனும் தொடர் வரைபடப் பயிற்சிகளுடனும் பயில்வது தேர்வில் முழு மதிப்பெண் பெற வழிவகுக்கும்.

நீங்கள் கற்பவை

• அறிதல் - வடிவொத்த முக்கோணங்களின் வடிவொப்புமைக்கான விதிகளைப் புரிந்து கொண்டு கணக்குகளைத் தீர்த்தல்.
• நிரூபித்தல் - அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றம் மற்றும் கோண இருசமவெட்டித் தேற்றங்களை முறையாக மெய்ப்பித்தல்.
• கணக்கிடுதல் - பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி முக்கோணங்களின் பக்க நீளங்களைக் கண்டறிதல்.
• செயல்படுத்துதல் - வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் மற்றும் நாண்களின் பண்புகளைக் கொண்டு கணக்குகளுக்குத் தீர்வுகாணுதல்.
• வரையறுத்தல் - செவா மற்றும் மெனிலாஸ் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி முக்கோணங்களின் ஒருங்கிசைவுப் பண்புகளை ஆராய்தல்.
• வரைதல் - வடிவொத்த முக்கோணங்கள் மற்றும் வட்டத்தின் தொடுகோடுகளைத் துல்லியமாக வரைந்து பழகுதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• ஒன்பதாம் வகுப்பில் கற்ற முக்கோணங்களின் சர்வ சமத்தன்மை பற்றிய அடிப்படைக் கருத்துகள்.
• விகிதங்கள் மற்றும் விகிதாச்சாரங்கள் பற்றிய அடிப்படை எண்கணித அறிவு.
• வட்டத்தின் கூறுகள் மற்றும் கோணங்களின் அளவீடுகள் பற்றிய முந்தைய அறிவு.

வடிவியல் — விரிவான விளக்கம்

வடிவியல் கோட்பாடுகளின் தர்க்கரீதியான பகுப்பாய்வு

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகள்

வடிவொப்புமை என்பது ஒரே வடிவத்தையும் வெவ்வேறு அளவுகளையும் கொண்ட வடிவங்களைப் பற்றிய விரிவான கணிதப் படிப்பாகும். இரண்டு முக்கோணங்கள் சமகோண முக்கோணங்களாக இருக்கும்போது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் எப்போதும் சமமாக இருக்கும் என்ற விதியை வடிவொத்த முக்கோணங்கள் தெளிவுபடுத்துகின்றன. கோணம்-கோணம் (AA), பக்கம்-பக்கம்-பக்கம் (SSS) மற்றும் பக்கம்-கோணம்-பக்கம் (SAS) ஆகிய விதிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி இரு முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவையா என்பதை நாம் எளிதாகக் கண்டறியலாம். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதமானது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகவும், அவற்றின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகவும் இருக்கும் என்ற மிக முக்கியப் பண்பு இதன் மூலம் தர்க்கரீதியாக நிறுவப்பட்டு விரிவாக ஆராயப்படுகிறது. மேலும், இந்தப் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி நடைமுறை அளவீட்டுப் பிரச்சனைகளுக்குத் தீர்வு காண முடியும்.

தேல்ஸ் மற்றும் கோண இருசமவெட்டி தேற்றங்கள்

அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றம் அல்லது தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக வரையப்படும் நேர்க்கோடானது மற்ற இரு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. இது வடிவியல் கணக்குகளில் பக்கங்களின் விகிதத் தொடர்புகளைக் கண்டறிவதற்கான மிக அடிப்படையான கணிதக் கருவியாகும். அதேபோல், கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது ஒரு முக்கோணத்தின் கோணத்தின் உட்புற இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை, அக்கோணத்தை உள்ளடக்கிய பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்தில் உட்புறமாகப் பிரிக்கும் என்பதை நிரூபிக்கிறது. இவ்விரு தேற்றங்களும் முக்கோணங்களின் பல்வேறு பக்கங்களுக்கு இடையேயான தொடர்புகளைக் கண்டறியவும், பல சிக்கலான வடிவியல் கணக்குகளைத் தீர்க்கவும் தர்க்கரீதியான மற்றும் தெளிவான அடிப்படையை மாணவர்களுக்கு வழங்குகின்றன. மாணவர்கள் இந்த விகிதாச்சாரத் தொடர்புகளைப் பயிற்சி செய்வதன் மூலம் தர்க்கத் திறனை வளர்க்கலாம்.

பிதாகரஸ் தேற்றம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள்

வடிவவியலின் மிகப்பிரபலமான தேற்றங்களில் ஒன்றான பிதாகரஸ் தேற்றம், செங்கோண முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நீளங்களுக்கு இடையேயான தர்க்கரீதியான தொடர்பை விளக்குகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் வர்க்கமானது அதன் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பது இதன் வரையறையாகும். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி இதேற்றம் மிக அழகாக நிரூபிக்கப்படுகிறது. இதன் மறுதலைத் தேற்றமும் கணிதத்தில் மெய்யானதாகும், அதாவது ஒரு முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருந்தால் அது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாகவே இருக்கும். இத்தேற்றம் நம் அன்றாட வாழ்வில் உயரங்கள், தூரங்கள் மற்றும் வளைவுகளின் நீளங்களை அளவிடப் பெரிதும் பயன்படுகிறது. இதன் மூலம் பல கட்டிட அமைப்புகள் நிறுவப்படுகின்றன.

வட்டங்கள், நாண்கள் மற்றும் தொடுகோடுகள்

வட்டத்தின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே தொட்டுச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு தொடுகோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் தொடுபுள்ளியில் எப்போதும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும் என்பது இதன் மிக முக்கிய விதியாகும். வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகளை மட்டுமே வரைய முடியும் மற்றும் அவ்விரண்டு தொடுகோடுகளின் நீளங்களும் எப்போதும் சமமாக இருக்கும் என்ற பண்பu இப்பாடத்தில் விளக்கப்படுகிறது. மேலும், தொடுகோட்டிற்கும் நாணிற்கும் இடைப்பட்ட கோணமானது அதன் மாற்று வட்டத்துண்டில் அமைந்த கோணத்திற்குச் சமம் என்ற மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றம் வட்டவியல் கோட்பாடுகளில் மிக முக்கியப் பங்காற்றுகிறது. இதனை மாணவர்கள் நன்கு பயிற்சி செய்ய வேண்டும்.

ஒருங்கிசைவுத் தேற்றங்கள் மற்றும் செய்முறை வடிவியல்

முக்கோணத்தின் ஒரு முனையிலிருந்து அதன் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் ஏதேனும் ஒரு கோட்டுத்துண்டு சீவியன் எனப்படும். முக்கோணத்தின் மூன்று சீவியன்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்திப்பதற்கான நிபந்தனையை விளக்கும் செவா தேற்றம் மற்றும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீட்சியை ஒரு நேர்க்கோடு வெட்டும்போது ஏற்படும் விகிதத் தொடர்பை விளக்கும் மெனிலாஸ் தேற்றம் ஆகிய ஒருங்கிசைவுத் தேற்றங்கள் இப்பாடத்தின் தர்க்கரீதியான உயர் முடிவுகளை வழங்குகின்றன. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்திற்கு ஒத்த வடிவம் கொண்ட மற்றொரு வடிவொத்த முக்கோணத்தை வரைதல், வட்டத்தின் மையத்தைப் பயன்படுத்தி மற்றும் பயன்படுத்தாமல் தொடுகோடுகள் வரைதல் மற்றும் வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளியிலிருந்து இரட்டைத் தொடுகோடுகள் வரைதல் போன்ற செய்முறை பயிற்சிகள் மாணவர்களின் வடிவியல் வரைதல் திறனை முழுமையாக மேம்படுத்த உதவுகின்றன. வரைபடப் பயிற்சிகள் தேர்வுக்கு இன்றியமையாதவை.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதத்தைக் கணக்கிடும்போது, பக்கங்களின் வர்க்கங்களுக்குப் பதிலாக வெறும் பக்கங்களின் விகிதங்களை அப்படியே பயன்படுத்துவது தவறு; பரப்பளவுகளின் விகிதம் எப்போதும் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகும்.
• அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது, பக்கங்களின் பகுதிகளைத் தவறான வரிசையில் விகிதப்படுத்துவது தவறு; விகிதங்கள் எப்போதும் முக்கோணத்தின் ஒத்த பகுதிகளுக்கு இணையாகச் சரியாக எழுதப்பட வேண்டும்.
• கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தில், எதிர்பக்கத்தின் துண்டுகளைத் தவறான பக்க நீளங்களுடன் ஒப்பிடுவது தவறு; எதிர்பக்கத் துண்டுகளின் விகிதம் அத்துண்டுகளை அடுத்துள்ள பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு மட்டுமே சமமாகும்.
• வட்டத்தின் தொடுகோடு வரைதலில், தொடுபுள்ளிக்கும் ஆரத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணத்தை 90 பாகையாகக் கருதாமல் வரைவது தவறு; தொடுகோடு எப்போதும் தொடுபுள்ளியில் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக (90 டிகிரி) அமைய வேண்டும்.
• பிதாகரஸ் தேற்றத்தைச் செங்கோண முக்கோணமும் அல்லாத பிற முக்கோணங்களுக்கும் தவறாகப் பயன்படுத்துவது; இதேற்றம் செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு (90 டிகிரி கோணம் கொண்டவை) மட்டுமே பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

வடிவொத்த முக்கோணங்கள் என்றால் என்ன?

ஒரே வடிவத்தையும் ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகளையும் கொண்ட முக்கோணங்கள் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் எனப்படும். இவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் எப்போதும் சமமாகவும், ஒத்த பக்கங்களின் நீளங்கள் சம விகிதத்திலும் அமைந்திருக்கும். பக்கம்-பக்கம்-பக்கம், பக்கம்-கோணம்-பக்கம் போன்ற வடிவொப்புமை விதிகளைக் கொண்டு முக்கோணங்களின் வடிவொத்த தன்மையை நாம் மிக எளிதாகவும் மிகத் துல்லியமாகவும் கண்டறிய முடியும். இதனால் வடிவியல் பண்புகளை முழுமையாக அறியலாம்.

தேல்ஸ் தேற்றத்தின் கூற்று என்ன?

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக வரையப்படும் நேர்க்கோடானது மற்ற இரு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும் என்பதே தேல்ஸ் தேற்றம் அல்லது அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றம் ஆகும். இக்கோட்பாடு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் விகிதாச்சாரத் தொடர்புகளைக் கண்டறிந்து கணக்கிட வடிவியலில் பெரிதும் பயன்படுகிறது மற்றும் பல புதிய தேற்றங்களை நிரூபிக்கவும் உதவுகிறது. இதேற்றம் கணிதத்தில் மிக முக்கியமான ஒன்றாகும்.

பிதாகரஸ் தேற்றம் எப்போது பொருந்தும்?

பிதாகரஸ் தேற்றம் செங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஒரு கோணம் தொண்ணூறு டிகிரியாக இருக்கும்போது மட்டுமே இத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியும். அப்போது அதன் கர்ணத்தின் வர்க்கமானது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும் என்ற கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி விடை காண முடியும். இதர முக்கோணங்களுக்கு இது நேரடியாகப் பொருந்தாது என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.

வட்டத்தின் தொடுகோடு என்றால் என்ன?

வட்டத்தின் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியில் வட்டத்தை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே தொட்டுச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு வட்டத்தின் தொடுகோடு ஆகும். தொடுகோடு தொடுபுள்ளியில் வரையப்படும் வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு எப்போதும் செங்குத்தாக அமையும். வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரண்டு சமநீளமுள்ள தொடுகோடுகளை மட்டுமே வரைய முடியும். இதன் மூலம் பல வட்டவியல் கணக்குகளுக்குத் தீர்வு காணலாம்.

மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றம் என்றால் என்ன?

வட்டத்தின் தொடுகோட்டின் தொடுபுள்ளி வழியாக ஒரு நாண் வரையப்பட்டால், அந்த நாண் தொடுகோட்டுடன் ஏற்படுத்தும் கோணங்கள் முறையே அவற்றின் மாற்று வட்டத்துண்டுகளில் அமைந்த கோணங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதே மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றம் ஆகும். வட்டங்கள் மற்றும் தொடுகோடுகள் சார்ந்த கடினமான கணக்குகளைத் தீர்க்க இத்தேற்றம் மிகவும் பயனுள்ளதாகவும் தர்க்கரீதியாகவும் இருக்கும் என்பதில் ஐயமில்லை. இதைப் பயன்படுத்திப் பல தேற்றங்கள் நிறுவப்படுகின்றன.

முக்கோணத்தின் சீவியன் என்றால் என்ன?

ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனும் ஒரு முனையிலிருந்து அதன் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் நேர்க்கோட்டுத் துண்டு சீவியன் எனப்படும். முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடு, கோண இருசமவெட்டி மற்றும் நடுக்கோடு ஆகியவை சீவியனின் சிறப்பு வகைகளாகும். முக்கோணத்தின் மூன்று சீவியன்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்திப்பதற்கான தர்க்கரீதியான நிபந்தனையைச் செவா தேற்றம் தெளிவாக விளக்குகிறது. இது உயர் வடிவவியலில் மிக முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.