வடிவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}\) எனில், \(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta EDF\) எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்?
- A. \(\angle B = \angle E\)
- B. \(\angle A = \angle D\)
- C. \(\angle B = \angle D\)சரி
- D. \(\angle A = \angle F\)
விளக்கம். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, \(\angle B = \angle D\) ஆகும்.
Q2
\(\Delta LMN\)-யில் \(\angle L = 60^\circ\) மற்றும் \(\angle M = 50^\circ\) ஆகும். \(\Delta LMN \sim \Delta PQR\) எனில், \(\angle R\)-யின் மதிப்பு:
- A. 40\(^\circ\)
- B. 70\(^\circ\)சரி
- C. 30\(^\circ\)
- D. 110\(^\circ\)
விளக்கம். முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180\(^\circ\). எனவே \(\angle N = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 70^\circ\). முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை என்பதால், \(\angle R = \angle N = 70^\circ\) ஆகும்.
Q3
இருசமபக்க முக்கோணம் \(\Delta ABC\)-யில் \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் \(AC = 5\) செ.மீ எனில், \(AB\)-யின் நீளம் என்ன?
- A. 2.5 செ.மீ
- B. 5 செ.மீ
- C. 10 செ.மீ
- D. 5\(\sqrt{2}\) செ.மீசரி
விளக்கம். பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\). இங்கு \(AC = BC = 5\) செ.மீ என்பதால், \(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 50 \implies AB = 5\sqrt{2}\) செ.மீ ஆகும்.
Q4
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் \(ST \parallel QR\), \(PS = 2\) செ.மீ மற்றும் \(SQ = 3\) செ.மீ எனில், \(\Delta PQR\)-யின் பரப்பளவுக்கும் \(\Delta PST\)-யின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதம்:
- A. 25 : 4சரி
- B. 25 : 7
- C. 25 : 11
- D. 25 : 13
விளக்கம். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம். எனவே, \((PQ/PS)^2 = (5/2)^2 = 25 : 4\) ஆகும்.
Q5
இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் \(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta PQR\)-ன் சுற்வளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். \(PQ = 10\) செ.மீ எனில், \(AB\)-யின் நீளம்:
- A. 6\(\frac{2}{3}\) செ.மீ
- B. 10\(\frac{6}{3}\) செ.மீ
- C. 66\(\frac{2}{3}\) செ.மீ
- D. 15 செ.மீசரி
விளக்கம். இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் அவற்றின் சுற்றளவுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம். எனவே, \(AB/PQ = 36/24 = 3/2 \implies AB = 15\) செ.மீ ஆகும்.
Q6
\(\Delta ABC\)-யில் \(DE \parallel BC\). \(AB = 3.6\) செ.மீ, \(AC = 2.4\) செ.மீ மற்றும் \(AD = 2.1\) செ.மீ எனில், \(AE\)-யின் நீளம்:
- A. 1.4 செ.மீசரி
- B. 1.8 செ.மீ
- C. 1.2 செ.மீ
- D. 1.05 செ.மீ
விளக்கம். தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி, \(AD/AB = AE/AC \implies 2.1/3.6 = AE/2.4\). இதைச் சுருக்கினால் \(AE = 1.4\) செ.மீ எனப் பெறலாம்.
Q7
\(\Delta ABC\)-யில் \(AD\) ஆனது \(\angle BAC\)-யின் உட்புற இருசமவெட்டி ஆகும். \(AB = 8\) செ.மீ, \(BD = 6\) செ.மீ மற்றும் \(DC = 3\) செ.மீ எனில், பக்கம் \(AC\)-யின் நீளம்:
- A. 6 செ.மீ
- B. 4 செ.மீசரி
- C. 3 செ.மீ
- D. 8 செ.மீ
விளக்கம். கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி, \(AB/AC = BD/DC \implies 8/AC = 6/3 = 2\). எனவே, பக்கம் \(AC = 4\) செ.மீ ஆகும்.
Q8
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் \(\angle BAC = 90^\circ\) மற்றும் \(AD \perp BC\) எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது சரியானது?
- A. \(BD \cdot CD = BC^2\)
- B. \(AB \cdot AC = BC^2\)
- C. \(BD \cdot CD = AD^2\)சரி
- D. \(AB \cdot AC = AD^2\)
விளக்கம். செங்கோண முக்கோண பண்பின்படி, செங்கோணத்திலிருந்து கர்ணத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோட்டின் வர்க்கம், அது கர்ணத்தைப் பிரிக்கும் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமம். எனவே, \(BD \cdot CD = AD^2\).
Q9
6 மீ மற்றும் 11 மீ உயரமுள்ள இரு கம்பங்கள் ஒரு சமதளத் தரையில் செங்குத்தாக உள்ளன. அவற்றின் அடிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் 12 மீ எனில், அவற்றின் உச்சிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு என்ன?
- A. 13 மீசரி
- B. 14 மீ
- C. 15 மீ
- D. 12.8 மீ
விளக்கம். பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்கினால், அதன் பக்கங்கள் 12 மீ மற்றும் 5 மீ ஆகும். எனவே கர்ணம் \(\sqrt{12^2 + 5^2} = 13\) மீ ஆகும்.
Q10
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், \(PR = 26\) செ.மீ, \(QR = 24\) செ.மீ, \(\angle PAQ = 90^\circ\), \(PA = 6\) செ.மீ மற்றும் \(QA = 8\) செ.மீ எனில், \(\angle PQR\)-ஐக் காண்க.
- A. 80\(^\circ\)
- B. 85\(^\circ\)
- C. 75\(^\circ\)
- D. 90\(^\circ\)சரி
விளக்கம். செங்கோண முக்கோணம் \(\Delta PAQ\)-ல், \(PQ^2 = 6^2 + 8^2 = 100\). முக்கோணம் \(\Delta PQR\)-ல், \(10^2 + 24^2 = 26^2\) எனப் பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் மறுதலை நிறைவு செய்யப்படுவதால், \(\angle PQR = 90^\circ\) ஆகும்.
Q11
வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம்:
- A. மையம்
- B. தொடு புள்ளிசரி
- C. முடிவிலி
- D. நாண்
விளக்கம். வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடும் அப்புள்ளிக்குரிய ஆரமும் எப்போதும் தொடு புள்ளியில் ஒன்றிற்கொன்று செங்குத்தாக அமையும்.
Q12
வட்டத்தின் வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு எத்தனை தொடுகோடுகள் வரையலாம்?
- A. ஒன்று
- B. இரண்டுசரி
- C. முடிவற்ற எண்ணிக்கை
- D. பூஜ்ஜியம்
விளக்கம். ஒரு வட்டத்தின் வெளிப்புறத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு அதிகபட்சமாக இரண்டு தொடுகோடுகள் மட்டுமே வரைய முடியும்.
Q13
O-வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்திற்கு, வெளியே உள்ள புள்ளி \(P\)-யிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடுகோடுகள் \(PA\) மற்றும் \(PB\) ஆகும். \(\angle APB = 70^\circ\) எனில், \(\angle AOB\)-யின் மதிப்பு:
- A. 100\(^\circ\)
- B. 110\(^\circ\)சரி
- C. 120\(^\circ\)
- D. 130\(^\circ\)
விளக்கம். நாற்கரம் \(OAPB\)-யில் ஆரங்களுக்கும் தொடுகோடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் 90\(^\circ\) என்பதால், எதிர் கோணங்களின் கூடுதல் 180\(^\circ\) ஆகும். எனவே \(\angle AOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\) ஆகும்.
Q14
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் O-வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் \(CP\) மற்றும் \(CQ\) ஆகும். \(ARB\) என்பது வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி \(R\) வழியாகச் செல்லும் மற்றொரு தொடுகோடு ஆகும். \(CP = 11\) செ.மீ மற்றும் \(BC = 7\) செ.மீ எனில், \(BR\)-யின் நீளம்:
- A. 6 செ.மீ
- B. 5 செ.மீ
- C. 8 செ.மீ
- D. 4 செ.மீசரி
விளக்கம். புறப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் சமம் என்பதால், \(CQ = CP = 11\) செ.மீ. எனவே, \(BQ = CQ - BC = 11 - 7 = 4\) செ.மீ. \(BR = BQ = 4\) செ.மீ ஆகும்.
Q15
கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் உள்ளவாறு O-வை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் தொடுகோடு \(PR\) எனில், \(\angle POQ\) ஆனது:
- A. 120\(^\circ\)சரி
- B. 100\(^\circ\)
- C. 110\(^\circ\)
- D. 90\(^\circ\)
விளக்கம். வட்டத்தின் தொடுகோடு மற்றும் ஆரம் ஆகியவற்றின் பண்புகளின்படி, தொடுகோட்டுடன் ஆரம் ஏற்படுத்தும் கோணம் 90\(^\circ\). படத்திலிருந்து \(\angle POQ = 120^\circ\) எனக் கண்டறியலாம்.
