வடிவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்திற்கான, பாடநூலில் இல்லாத 15 கூடுதல் வினாக்கள் — ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(4 : 9\) எனில், அவற்றின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் என்ன?
- A. (அ) \(2 : 3\)
- B. (ஆ) \(16 : 81\)சரி
- C. (இ) \(81 : 16\)
- D. (ஈ) \(4 : 9\)
விளக்கம். இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம். எனவே, பரப்பளவுகளின் விகிதம் = \(4^2 : 9^2 = 16 : 81\) ஆகும்.
Q2
\(\\Delta ABC\)-யில், \(DE \\parallel BC\). \(AD = 3\) செ.மீ, \(DB = 4\) செ.மீ மற்றும் \(AE = 6\) செ.மீ எனில், \(EC\)-யின் மதிப்பு என்ன?
- A. (அ) \(8\) செ.மீ
- B. (ஆ) \(12\) செ.மீசரி
- C. (இ) \(4.5\) செ.மீ
- D. (ஈ) \(10\) செ.மீ
விளக்கம். அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றத்தின் (தேல்ஸ் தேற்றம்) படி, \(\\frac{AD}{DB} = \\frac{AE}{EC}\) ஆகும். மதிப்புகளைப் பிரதியிட, \(\\frac{3}{4} = \\frac{6}{EC} \\implies EC = \\frac{6 \\times 4}{3} = 8\) செ.மீ ஆகும்.
Q3
\(\\Delta ABC\)-யில் \(\\angle A\)-யின் உட்புற இருசமவெட்டி \(AD\) ஆனது பக்கம் \(BC\)-ஐ \(D\)-யில் சந்திக்கிறது. \(AB = 8\) செ.மீ, \(AC = 12\) செ.மீ மற்றும் \(BD = 4\) செ.மீ எனில், \(DC\)-யின் நீளம் என்ன?
- A. (அ) \(8\) செ.மீசரி
- B. (ஆ) \(6\) செ.மீ
- C. (இ) \(5\) செ.மீ
- D. (ஈ) \(10\) செ.மீ
விளக்கம். கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் உட்புற இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர் பக்கத்தை அக்கோணத்தை அடக்கிய பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும். எனவே, \(\\frac{AB}{AC} = \\frac{BD}{DC} \\implies \\frac{8}{12} = \\frac{4}{DC} \\implies DC = \\frac{12 \\times 4}{8} = 6\) செ.மீ.
Q4
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் \(25\) செ.மீ மற்றும் அதன் ஒரு பக்கம் \(7\) செ.மீ எனில், மற்றொரு பக்கத்தின் நீளம் என்ன?
- A. (அ) \(18\) செ.மீ
- B. (ஆ) \(20\) செ.மீசரி
- C. (இ) \(24\) செ.மீ
- D. (ஈ) \(15\) செ.மீ
விளக்கம். பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமானது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். எனவே, மற்றொரு பக்கம் = \(\\sqrt{25^2 - 7^2} = \\sqrt{625 - 49} = \\sqrt{576} = 24\) செ.மீ.
Q5
ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு முனையிலிருந்து அதன் எதிர் பக்கத்திற்கு வரையப்படும் கோட்டுத்துண்டு எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
- A. (அ) தொடுகோடு (Tangent)சரி
- B. (ஆ) சீவியன் (Cevian)
- C. (இ) விட்டம் (Diameter)
- D. (ஈ) நாண் (Chord)
விளக்கம். வரையறையின்படி, முக்கோணத்தின் ஒரு முனையிலிருந்து அதன் எதிர் பக்கத்திற்கு வரையப்படும் எந்தவொரு கோட்டுத்துண்டும் சீவியன் (Cevian) எனப்படும். நடுக்கோடு, குத்துக்கோடு மற்றும் கோண இருசமவெட்டி ஆகியவை சிறப்பு சீவியன்கள் ஆகும்.
Q6
வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து \(13\) செ.மீ தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் \(12\) செ.மீ எனில், வட்டத்தின் ஆரம் என்ன?
- A. (அ) \(5\) செ.மீ
- B. (ஆ) \(6\) செ.மீசரி
- C. (இ) \(7\) செ.மீ
- D. (ஈ) \(8\) செ.மீ
விளக்கம். தொடுபுள்ளியில் ஆரமும் தொடுகோடும் செங்குத்தாக அமையும். இதனால் உருவாகும் செங்கோண முக்கோணத்தில், மையத்திலிருந்து உள்ள தொலைவு கர்ணமாகும். பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, வட்டத்தின் ஆரம் = \(\\sqrt{13^2 - 12^2} = \\sqrt{169 - 144} = \\sqrt{25} = 5\) செ.மீ.
Q7
வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு அதிகபட்சமாக எத்தனை தொடுகோடுகள் வரையலாம்?
- A. (அ) ஒன்று
- B. (ஆ) இரண்டுசரி
- C. (இ) முடிவற்ற எண்ணிக்கை
- D. (ஈ) பூஜ்ஜியம்
விளக்கம். வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அவ்வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் மட்டுமே வரைய முடியும். மேலும், இப்பெருக்கப்படும் இரு தொடுகோடுகளின் நீளங்களும் சமமாக இருக்கும்.
Q8
வட்டத்தின் தொடுகோடும், தொடுபுள்ளியில் வரையப்பட்ட ஆரமும் ஒன்றுக்கொன்று எவ்வாறு அமையும்?
- A. (அ) இணையாக (Parallel)
- B. (ஆ) செங்குத்தாக (Perpendicular)சரி
- C. (இ) \(45^{\\circ}\) கோணத்தில்
- D. (ஈ) ஏதேனும் ஒரு கோணத்தில்
விளக்கம். தேற்றத்தின்படி, வட்டத்தின் தொடுகோடும் தொடுபுள்ளியில் வரையப்பட்ட ஆரமும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக (Perpendicular) அமையும். அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(90^{\\circ}\) ஆகும்.
Q9
\(\\Delta ABC\)-யின் பக்கங்கள் \(BC, CA, AB\) ஆகியவற்றின் மேல் முறையே \(D, E, F\) என்ற புள்ளிகள் அமைந்துள்ளன. \(AD, BE, CF\) ஆகிய சீவியன்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்தித்தால், சீவாஸ் தேற்றத்தின்படி பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?
- A. (அ) \(\\frac{BD}{DC} \\times \\frac{CE}{EA} \\times \\frac{AF}{FB} = 1\)சரி
- B. (ஆ) \(\\frac{BD}{DC} \\times \\frac{CE}{EA} \\times \\frac{AF}{FB} = -1\)
- C. (இ) \(\\frac{BD}{DC} + \\frac{CE}{EA} + \\frac{AF}{FB} = 1\)
- D. (ஈ) \(\\frac{BD}{DC} \\times \\frac{CE}{EA} \\times \\frac{AF}{FB} = 0\)
விளக்கம். சீவாஸ் தேற்றத்தின்படி (Ceva's Theorem), ஒரு முக்கோணத்தின் சீவியன்கள் ஒரு புள்ளியில் சந்தித்தால் மட்டுமே அவற்றின் பக்க விகிதங்களின் பெருக்கற்பலன் 1 ஆகும். அதாவது, \(\\frac{BD}{DC} \\times \\frac{CE}{EA} \\times \\frac{AF}{FB} = 1\).
Q10
\(\\Delta ABC \\sim \\Delta PQR\) மேலும் அவைகளின் சுற்றளவுகள் முறையே \(36\) செ.மீ மற்றும் \(24\) செ.மீ ஆகும். \(PQ = 10\) செ.மீ எனில், \(AB\)-யின் நீளம் என்ன?
- A. (அ) \(12\) செ.மீசரி
- B. (ஆ) \(15\) செ.மீ
- C. (இ) \(20\) செ.மீ
- D. (ஈ) \(18\) செ.மீ
விளக்கம். இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம். எனவே, \(\\frac{AB}{PQ} = \\frac{\\\\text{Perimeter}(\\\\Delta ABC)}{\\\\text{Perimeter}(\\\\Delta PQR)} \\implies \\frac{AB}{10} = \\frac{36}{24} \\implies AB = \\frac{36 \\times 10}{24} = 15\) செ.மீ.
Q11
வட்டத்தின் ஒரு புள்ளியில் வரையப்படும் தொடுகோட்டுடன், அப்புள்ளியின் வழியாக வரையப்படும் நாண் ஏற்படுத்தும் கோணங்கள் முறையே மாற்று வட்டத்துண்டுகளில் நாணினால் தாங்கப்படும் கோணங்களுக்கு எவ்வாறு இருக்கும்?
- A. (அ) சமம்சரி
- B. (ஆ) கூடுதல் \(180^{\\\\circ}\) ஆகும்
- C. (இ) இருமடங்காகும்
- D. (ஈ) தொடர்பற்றது
விளக்கம். மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றத்தின் (Alternate Segment Theorem) கூற்றுப்படி, தொடுகோட்டுடன் நாண் ஏற்படுத்தும் கோணங்கள் முறையே மாற்று வட்டத்துண்டுகளில் உள்ள கோணங்களுக்குச் சமமாகும்.
Q12
\(4\) செ.மீ மற்றும் \(5\) செ.மீ ஆரங்கள் கொண்ட இரு பொதுமைய வட்டங்களில், பெரிய வட்டத்தின் நாணானது சிறிய வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக அமைந்தால், அந்த நாணின் நீளம் என்ன?
- A. (அ) \(3\) செ.மீ
- B. (ஆ) \(6\) செ.மீ
- C. (இ) \(8\) செ.மீசரி
- D. (ஈ) \(10\) செ.மீ
விளக்கம். பொதுமைய வட்டங்களில் பெரிய வட்டத்தின் நாண் சிறிய வட்டத்திற்குத் தொடுபுள்ளியில் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக அமையும் மற்றும் இருசமக்கூறிடும். உருவாகும் செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணம் \(5\) செ.மீ, ஒரு பக்கம் \(4\) செ.மீ. மற்றொரு பாதி நாணின் நீளம் = \(\\\\sqrt{5^2 - 4^2} = \\\\sqrt{25 - 16} = 3\) செ.மீ. எனவே, நாணின் முழு நீளம் = \(2 \\\\times 3 = 6\) செ.மீ ஆகும்.
Q13
ஒரு நேர்க்கோடு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களை ஒரே விகிதத்தில் பிரித்தால், அந்த நேர்க்கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு எவ்வாறு அமையும்?
- A. (அ) செங்குத்தாக இருக்கும்சரி
- B. (ஆ) இணையாக இருக்கும்
- C. (இ) சமமாக இருக்கும்
- D. (ஈ) வெட்டும் கோடாக இருக்கும்
விளக்கம். அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றத்தின் மறுதலையின் (Converse of Thales Theorem) படி, ஒரு நேர்க்கோடு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களை ஒரே விகிதத்தில் பிரித்தால், அந்நேர்க்கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக (Parallel) இருக்கும்.
Q14
\(\\\\Delta ABC\)-யில் \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) எனில், அம்முக்கோணத்தின் எந்தக் கோணம் செங்கோணமாக (\(90^{\\\\circ}\)) இருக்கும்?
- A. (அ) \(\\\\angle A\)
- B. (ஆ) \(\\\\angle B\)சரி
- C. (இ) \(\\\\angle C\)
- D. (ஈ) \(\\\\angle D\)
விளக்கம். பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் மறுதலையின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கத்தின் (இங்கு \(AC\)) வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருந்தால், அந்த மிக நீளமான பக்கத்திற்கு எதிரே அமையும் கோணம் செங்கோணம் ஆகும். எனவே \(\\\\angle B = 90^{\\\\circ}\).
Q15
இரண்டு முக்கோணங்களின் ஒத்த கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும். இந்த வடிவொத்தத்தன்மை விதிமுறை எவ்வாறு அழைக்கப்படுகிறது?
- A. (அ) கோ.கோ.கோ (AAA) விதிமுறை
- B. (ஆ) ப.ப.ப (SSS) விதிமுறை
- C. (இ) ப.கோ.ப (SAS) விதிமுறைசரி
- D. (ஈ) செ.க.ப (RHS) விதிமுறை
விளக்கம். இரு முக்கோணங்களில் ஒத்த கோணங்கள் சமமெனில் (சமகோண முக்கோணங்கள்), அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும். இந்த விதிமுறை கோணம்-கோணம்-கோணம் (AAA) வடிவொத்தத்தன்மை விதிமுறை எனப்படும்.
