எண்களும் தொடர்வரிசைகளும் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்திற்கான, பாடநூலில் இல்லாத 15 கூடுதல் வினாக்கள் — ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
யூக்clidின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, \(a = bq + r\) என்ற வடிவில், \(a = -35\) மற்றும் \(b = 8\) எனில், \(q\) மற்றும் \(r\)-ன் மதிப்புகள் முறையே என்ன?
- A. \(q = -4, r = -3\)
- B. \(q = -5, r = 5\)சரி
- C. \(q = -4, r = 3\)
- D. \(q = -5, r = -3\)
விளக்கம். யூக்clidின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, \(a = bq + r\), இங்கு \(0 \le r < b\). இவண் \(a = -35\), \(b = 8\). எனவே, \(-35 = 8 \times (-5) + 5\). இங்கு \(r = 5\) ஆனது \(0 \le r < 8\) என்ற நிபந்தனையை நிறைவு செய்கிறது. எனவே, \(q = -5, r = 5\) ஆகும்.
Q2
\(3^a \times 5^b \times 7^c = 4725\) மற்றும் \(a, b, c\) ஆகியவை இயல் எண்கள் எனில், \(a + b + c\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(5\)
- B. \(6\)
- C. \(7\)
- D. \(8\)சரி
விளக்கம். \(4725\)-ஐப் பகாக்காரணிப்படுத்தக் கிடைப்பது: \(4725 = 3 \times 1575 = 3 \times 3 \times 525 = 3 \times 3 \times 3 \times 175 = 3^3 \times 5^2 \times 7^1\). இவற்றுடன் \(3^a \times 5^b \times 7^c\)-ஐ ஒப்பிட, \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = 1\) எனப் பெறுகிறோம். எனவே, \(a + b + c = 3 + 2 + 1 = 6\) ஆகும்.
Q3
\(5x \equiv 4 \pmod{9}\) என்ற ஒருங்கமைவு மட்டுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மிகச்சிறிய மிகை முழு எண் \(x\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(2\)
- B. \(5\)
- C. \(8\)சரி
- D. \(11\)
விளக்கம். \(5x \equiv 4 \pmod{9}\) என்பதிலிருந்து \(5x - 4\) ஆனது \(9\)-ன் மடங்கு ஆகும். எனவே \(5x - 4 = 9k\) (இங்கு \(k\) ஒரு முழு எண்). \(5x = 9k + 4 \implies x = \frac{9k+4}{5}\). \(k = 4\) எனும்போது, \(x = \frac{36+4}{5} = 8\) என்ற மிகச்சிறிய மிகை முழு எண் தீர்வு கிடைக்கிறது.
Q4
ஒரு தொடர்வரிசையின் பொது உறுப்பு \(a_n = (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1}\) எனில், அத்தொடர்வரிசையின் 5-வது உறுப்பு (\(a_5\)) என்ன?
- A. \(\frac{5}{26}\)சரி
- B. \(-\frac{5}{26}\)
- C. \(\frac{5}{11}\)
- D. \(-\frac{5}{11}\)
விளக்கம். \(a_n = (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1}\) என்ற பொது உறுப்பில் \(n = 5\) எனப் பிரதியிட, \(a_5 = (-1)^5 \frac{5}{5^2 + 1} = -1 \times \frac{5}{25 + 1} = -\frac{5}{26}\) ஆகும்.
Q5
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 7-வது உறுப்பு \(40\) மற்றும் 13-வது உறுப்பு \(76\) எனில், அத்தொடர்வரிசையின் பொது வித்தியாசம் \(d\) என்ன?
- A. \(4\)
- B. \(5\)
- C. \(6\)சரி
- D. \(8\)
விளக்கம். கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் \(n\)-வது உறுப்பு \(t_n = a + (n-1)d\) ஆகும். தரவுகளின்படி, \(t_7 = a + 6d = 40\) மற்றும் \(t_{13} = a + 12d = 76\). இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் கழிக்க, \((a + 12d) - (a + 6d) = 76 - 40 \implies 6d = 36 \implies d = 6\). எனவே பொது வித்தியாசம் \(6\) ஆகும்.
Q6
முதல் உறுப்பு \(12\), பொது வித்தியாசம் \(7\) மற்றும் கடைசி உறுப்பு \(250\) ஆகக் கொண்ட ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n\) என்ன?
- A. \(33\)
- B. \(34\)
- C. \(35\)சரி
- D. \(36\)
விளக்கம். கூட்டுத் தொடர்வரிசையிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காணும் சூத்திரம் \(n = \frac{l - a}{d} + 1\). இவண் \(a = 12, d = 7, l = 250\). எனவே, \(n = \frac{250 - 12}{7} + 1 = \frac{238}{7} + 1 = 34 + 1 = 35\) ஆகும்.
Q7
\(x + 2\), \(2x + 1\) மற்றும் \(4x - 3\) ஆகிய மூன்று உறுப்புகள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைகின்றன எனில், \(x\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(2\)
- B. \(3\)
- C. \(4\)சரி
- D. \(5\)
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட உறுப்புகள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைவதால், அவற்றின் அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் வித்தியாசங்கள் சமமாகும். எனவே, \((2x + 1) - (x + 2) = (4x - 3) - (2x + 1) \implies x - 1 = 2x - 4 \implies 2x - x = 4 - 1 \implies x = 3\) ஆகும்.
Q8
\(5, 9, 13, \dots\) என்ற கூட்டுத் தொடரின் முதல் \(20\) உறுப்புகளின் கூடுதல் என்ன?
- A. \(820\)
- B. \(840\)
- C. \(860\)சரி
- D. \(880\)
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட கூட்டுத் தொடரின் முதல் உறுப்பு \(a = 5\) மற்றும் பொது வித்தியாசம் \(d = 9 - 5 = 4\). முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் காணும் சூத்திரம் \(S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\). இங்கு \(n = 20\) எனப் பிரதியிட, \(S_{20} = \frac{20}{2} [2(5) + (20-1)4] = 10 [10 + 19 \times 4] = 10 [10 + 76] = 10 \times 86 = 860\) ஆகும்.
Q9
\(3, 6, 12, 24, \dots\) என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 8-வது உறுப்பு என்ன?
- A. \(192\)
- B. \(256\)சரி
- C. \(384\)
- D. \(768\)
விளக்கம். பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு \(a = 3\), பொதுவிகிதம் \(r = \frac{6}{3} = 2\). \(n\)-வது உறுப்பு காணும் சூத்திரம் \(t_n = a r^{n-1}\) ஆகும். எனவே, 8-வது உறுப்பு \(t_8 = 3 \times 2^{8-1} = 3 \times 2^7 = 3 \times 128 = 384\) ஆகும்.
Q10
\(3, x, 12\) ஆகிய உறுப்புகள் ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன (இங்கு \(x > 0\)) எனில், \(x\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(4\)
- B. \(6\)
- C. \(8\)சரி
- D. \(9\)
விளக்கம். \(a, b, c\) ஆகியவை ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் இருந்தால், \(b^2 = ac\) ஆகும். இங்கு \(3, x, 12\) பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் உள்ளதால், \(x^2 = 3 \times 12 = 36 \implies x = 6\) (\(x > 0\) என்பதால்).
Q11
\(4, 12, 36, \dots\) என்ற பெருக்குத் தொடரின் முதல் \(6\) உறுப்புகளின் கூடுதல் என்ன?
- A. \(1456\)
- B. \(1458\)சரி
- C. \(1460\)
- D. \(2912\)
விளக்கம். இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு \(a = 4\), பொது விகிதம் \(r = \frac{12}{4} = 3\). முதல் \(n\) உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}\) (இங்கு \(r > 1\)). எனவே, \(S_6 = \frac{4(3^6 - 1)}{3-1} = \frac{4(729 - 1)}{2} = 2 \times 728 = 1456\) ஆகும்.
Q12
\(12 + 4 + \frac{4}{3} + \dots\) என்ற முடிவுறாப் பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.
- A. \(16\)
- B. \(18\)
- C. \(20\)சரி
- D. \(24\)
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட முடிவுறாப் பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு \(a = 12\), பொது விகிதம் \(r = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் \(S_{\infty} = \frac{a}{1-r}\) (இங்கு \(-1 < r < 1\)). எனவே, \(S_{\infty} = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{12}{\frac{2}{3}} = 12 \times \frac{3}{2} = 18\) ஆகும்.
Q13
முதல் \(30\) இயல் எண்களின் கூடுதல் யாது?
- A. \(435\)சரி
- B. \(450\)
- C. \(465\)
- D. \(480\)
விளக்கம். முதல் \(n\) இயல் எண்களின் கூடுதல் காணும் சூத்திரம் \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\) ஆகும். இங்கு \(n = 30\) எனப் பிரதியிட, கூடுதல் = \(\frac{30 \times 31}{2} = 15 \times 31 = 465\) ஆகும்.
Q14
முதல் \(10\) இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் (\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2\)) என்ன?
- A. \(325\)
- B. \(355\)சரி
- C. \(385\)
- D. \(425\)
விளக்கம். முதல் \(n\) இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் காணும் சூத்திரம் \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ஆகும். இங்கு \(n = 10\) எனப் பிரதியிட, கூடுதல் = \(\frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 5 \times 11 \times 7 = 385\) ஆகும்.
Q15
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = 3025\) எனில், \(k\)-ன் மதிப்பு என்ன?
- A. \(9\)
- B. \(10\)
- C. \(11\)சரி
- D. \(12\)
விளக்கம். முதல் \(k\) இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் \(\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2\) ஆகும். தரவின்படி, \(\left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 = 3025 = 55^2 \implies \frac{k(k+1)}{2} = 55 \implies k(k+1) = 110\). \(10 \times 11 = 110\) என்பதால் \(k = 10\) ஆகும்.
