இயற்கணிதம்: புத்தகப் பயிற்சி ஒரு மதிப்பெண் வினா விடைகள், விளக்கத்துடன் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லை எனில், அத்தொகுப்பைக் குறிக்கும் தளங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாமல் இருக்கும். எனவே, தளங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாது.

விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்: 1) \(x + y - 3z = -6\) 2) \(-7y + 7z = 7\) 3) \(3z = 9 \Rightarrow z = 3\) \(z = 3\) ஐ (2)-ல் பிரதியிட: \(-7y + 7(3) = 7 \Rightarrow -7y + 21 = 7 \Rightarrow -7y = -14 \Rightarrow y = 2\) \(y = 2, z = 3\) ஐ (1)-ல் பிரதியிட: \(x + 2 - 3(3) = -6 \Rightarrow x + 2 - 9 = -6 \Rightarrow x - 7 = -6 \Rightarrow x = 1\) எனவே, தீர்வு \(x = 1, y = 2, z = 3\) ஆகும்.

விளக்கம். \((x - 6)\) என்பது பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ. என்பதால், அது \(x^2 - kx - 6\)-யின் ஒரு காரணியாகும். எனவே, \(x = 6\) எனப் பிரதியிட மதிப்பு பூச்சியமாகும்: \(6^2 - k(6) - 6 = 0 \Rightarrow 36 - 6k - 6 = 0 \Rightarrow 30 - 6k = 0 \Rightarrow 6k = 30 \Rightarrow k = 5\).

விளக்கம். \(\frac{3y - 3}{y} \div \frac{7y - 7}{3y^2} = \frac{3(y - 1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y - 1)} = \frac{3 \times 3y}{7} = \frac{9y}{7}\).

விளக்கம். \(\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 = y^2 + \frac{1}{y^2} + 2 \neq y^2 + \frac{1}{y^2}\). மற்ற அனைத்தும் \(y^2 + \frac{1}{y^2}\)-க்குச் சமமாகும்.

விளக்கம். \(\frac{x}{x^2 - 25} - \frac{8}{x^2 + 6x + 5} = \frac{x}{(x-5)(x+5)} - \frac{8}{(x+5)(x+1)}\) மீ.பொ.ம. என்பது \((x-5)(x+5)(x+1)\) ஆகும். தொகுதி \(= x(x+1) - 8(x-5) = x^2 + x - 8x + 40 = x^2 - 7x + 40\). எனவே, சுருங்கிய வடிவம் \(\frac{x^2 - 7x + 40}{(x^2 - 25)(x + 1)}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\sqrt{\frac{256x^8 y^4 z^{10}}{25x^6 y^6 z^6}} = \sqrt{\frac{256}{25} \frac{x^2 z^4}{y^2}} = \frac{16}{5}\left|\frac{x z^2}{y}\right|\).

விளக்கம். \(x^4 + 64 = (x^2)^2 + 8^2\). இதனை ஒரு முழு வர்க்கமாக மாற்ற \(2(x^2)(8) = 16x^2\) என்ற உறுப்பைக் கூட்ட வேண்டும். எனவே, \((x^2 + 8)^2 = x^4 + 16x^2 + 64\) ஆகும்.

விளக்கம். \((2x - 1)^2 = 9 \Rightarrow 2x - 1 = \pm 3\) நிலை 1: \(2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\) நிலை 2: \(2x - 1 = -3 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\) எனவே, தீர்வுகள் \(-1, 2\) ஆகும்.

விளக்கம். \(4x^4 - 24x^3 + 76x^2 + ax + b\) என்பது \((2x^2 - 6x + 10)^2\)-யின் விரிவாகும். \((2x^2 - 6x + 10)^2 = 4x^4 - 24x^3 + 76x^2 - 120x + 100\) ஒத்த உறுப்புகளின் கெழுக்களை ஒப்பிட, \(a = -120, b = 100\) ஆகும்.

விளக்கம். மூலங்களின் தன்மைகளின்படி, மூலங்களின் வர்க்கங்கள் மற்றொரு சமன்பாட்டின் மூலங்களாக அமைந்தால், \(p, q, r\) என்பன பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் அமையும் (அதாவது, \(p^2 = qr\)). எனவே, அவை பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன.

விளக்கம். நேரிய சமன்பாடு (Linear Equation) \(ax + by + c = 0\) என்பதன் வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகும்.

விளக்கம். \(x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2, -2\). இங்கு மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் என்பதால், வரைபடம் (பரவளையம்) \(X\) அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே தொட்டுச் செல்லும். எனவே, வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1 ஆகும்.

விளக்கம். அணி \(A\)-yin வரிசை \(3 \times 4\) (3 நிரைகள், 4 நிரல்கள்). அதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி \(A^T\)-yin வரிசை \(4 \times 3\) ஆகும்.

விளக்கம். \(A_{2 \times 3}\) மற்றும் \(B_{3 \times 4}\) ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி \(AB\)-யின் வரிசை \(2 \times 4\) ஆகும். எனவே, \(AB\) அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.

விளக்கம். நிரல்கள் மற்றும் நிரைகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இல்லை எனில் அது செவ்வக அணி எனப்படும். (அதாவது, \(m \neq n\)).

விளக்கம். நிரல் அணியின் வரிசை \(m \times 1\) ஆகும். இதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி \(1 \times m\) வரிசையைக் கொண்டதாக இருக்கும், எனவே அது ஒரு நிரை அணியாகும்.

விளக்கம். \(2X + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix}\) \\ \(2X = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 & 7-3 \\ 9-5 & 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}\) \\ \(X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\).

விளக்கம். \(A\)-yin வரிசை \(3 \times 2\), \(B\)-yin வரிசை \(3 \times 3\) ஆகும். சதுர அணியான \(B\)-க்கு \(B^2\) காண இயலும். மேலும் \(B\)-yin நிரல்களின் எண்ணிக்கை (3) ஆனது \(A\)-yin நிரைகளின் எண்ணிக்கைக்கு (3) சமமாக இருப்பதால், \(BA\) காண இயலும். எனவே (ii) மற்றும் (iv) கணக்கிட முடியும்.

விளக்கம். கொடுக்கப்பட்டவை: \(A_{2 \times 3}\), \(B_{3 \times 2}\) மற்றும் \(C_{2 \times 2}\). \n\(AB = \begin{pmatrix} 1(1)+2(2)+3(0) & 1(0)+2(-1)+3(2) \\ 3(1)+2(2)+1(0) & 3(0)+2(-1)+1(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5&4 \\ 7&0 \end{pmatrix}\) \n(i) \(AB+C = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}\) (இது சரி) \n(ii) \(BC = \begin{pmatrix} 1(0)+0(-2) & 1(1)+0(5) \\ 2(0)+(-1)(-2) & 2(1)+(-1)(5) \\ 0(0)+2(-2) & 0(1)+2(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}\) (இது சரி) \nஎனவே, (i) மற்றும் (ii) கூற்றுகள் சரி.