உறவுகளும் சார்புகளும் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்திற்கான, பாடநூலில் இல்லாத 15 கூடுதல் வினாக்கள் — ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
$n(A) = 3$ மற்றும் $n(B) = 4$ எனில், கணம் $A$-யிலிருந்து கணம் $B$-க்கு வரையறுக்கப்படும் உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
- A. (அ) 12
- B. (ஆ) 64
- C. (இ) 1024
- D. (ஈ) 4096சரி
விளக்கம். $A$-லிருந்து $B$-க்கான உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை $2^{n(A) \\times n(B)}$ ஆகும். இங்கு $n(A) = 3$ மற்றும் $n(B) = 4$ என்பதால், உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை $2^{3 \\times 4} = 2^{12} = 4096$ ஆகும்.
Q2
$A \\times B = \\{(a, 1), (b, 2), (a, 2), (b, 1)\\}$ எனில், கணம் $A$ ஆனது
- A. (அ) $\\{1, 2\\}$
- B. (ஆ) $\\{a, b\\}$சரி
- C. (இ) $\\{a, b, 1, 2\\}$
- D. (ஈ) $\\{a, 1\\}$
விளக்கம். கார்டீசியன் பெருக்கல் $A \\times B$-ன் ஒவ்வொரு வரிசைச் சோடியிலும் உள்ள முதல் உறுப்பு கணத்தின் $A$-ன் உறுப்பாகும். கொடுக்கப்பட்ட வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்புகள் $a$ மற்றும் $b$ என்பதால், கணம் $A = \\{a, b\\}$ ஆகும்.
Q3
$n(A) = 4$ மற்றும் $n(B) = 3$ எனில், கணம் $A$-யிலிருந்து கணம் $B$-க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
- A. (அ) 12
- B. (ஆ) 64
- C. (இ) 81சரி
- D. (ஈ) 128
விளக்கம். $n(A) = p$ மற்றும் $n(B) = q$ கொண்ட இரு முடிவுறு கணங்களுக்கு இடையே அமையும் சார்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கை $q^p$ ஆகும். இங்கு, $p = 4$ மற்றும் $q = 3$ என்பதால், சார்புகளின் எண்ணிக்கை $3^4 = 81$ ஆகும்.
Q4
$A$ மற்றும் $B$ என்பன இரண்டு வெற்றிலாக் கணங்கள் எனில், அவற்றின் கார்டீசியன் பெருக்கலின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றிய பின்வரும் கூற்றுகளில் எது எப்போதும் சரியானது?
- A. (அ) $n(A \\times B) > n(B \\times A)$
- B. (ஆ) $n(A \\times B) < n(B \\times A)$
- C. (இ) $n(A \\times B) = n(B \\times A)$சரி
- D. (ஈ) $n(A \\times B) \\neq n(B \\times A)$
விளக்கம். கார்டீசியன் பெருக்கல்கள் $A \\times B$ மற்றும் $B \\times A$ ஆகியவற்றின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையானது கணங்கள் $A$ மற்றும் $B$-ன் உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமமாகும். அதாவது, $n(A \\times B) = n(B \\times A) = n(A) \\times n(B)$ ஆகும்.
Q5
$A = \\{1, 2\\}$ மற்றும் $B = \\{3, 4\\}$ என்க. $A$-யிலிருந்து $B$-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உறவு $R$-ல் எவ்வித உறுப்பும் இல்லை (அதாவது $R = \\emptyset$) எனில், அந்த உறவு எவ்வாறு அழைக்கப்படும்?
- A. (அ) சமனி உறவு (Identity relation)
- B. (ஆ) இன்மை உறவு (Null relation)சரி
- C. (இ) அனைத்துற உறவு (Universal relation)
- D. (ஈ) தற்சுட்டு உறவு (Reflexive relation)
விளக்கம். ஒரு உறவில் எவ்வித உறுப்பும் இல்லை என்றால், அது இன்மை உறவு (Null relation) எனப்படும். இது \\emptyset எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
Q6
$f: X \\to Y$ என்ற சார்பானது மதிப்பகம் $X$-ல் உள்ள அனைத்து $x$-க்கும் $f(x) = c$ (இங்கு $c \\in Y$ என்பது ஒரு மாறிலி) என வரையறுக்கப்பட்டால், அச்சார்பு பின்வருவனவற்றில் எவ்வகையைச் சார்ந்தது?
- A. (அ) சமனிச் சார்பு (Identity function)
- B. (ஆ) மாறிலிச் சார்பு (Constant function)சரி
- C. (இ) ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு (One-one function)
- D. (ஈ) மேல் சார்பு (Onto function)
விளக்கம். மதிப்பகத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் ஒரே ஒரு நிழல் உருவை மட்டுமே பெற்றிருந்தால், அச்சார்பு மாறிலிச் சார்பு (Constant function) எனப்படும்.
Q7
மெய் மதிப்புச் சார்பு \(f(x) = \\frac{1}{x^2 - 9}\)-ன் சார்பகம் (Domain) என்ன?
- A. (அ) அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் (\\mathbb{R})
- B. \(3\) தவிர்த்த அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் (\\mathbb{R} \\setminus \\{3\\})
- C. \(-3\) மற்றும் \(3\) தவிர்த்த அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் (\\mathbb{R} \\setminus \\{-3, 3\\})சரி
- D. (ஈ) அனைத்து மிகை மெய்யெண்களின் கணம்
விளக்கம். சார்பின் பகுதியானது பூச்சியமாகும் மதிப்புகளுக்குச் சார்பு வரையறுக்கப்படாது. இங்கு \(x^2 - 9 = 0 \\implies x = \\pm 3\) ஆகும். எனவே, \(-3\) மற்றும் \(3\) ஆகிய மதிப்புகளைத் தவிர மற்ற அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் \\mathbb{R} \\setminus \\{-3, 3\\} இதன் சார்பகமாகும்.
Q8
\(f: A \\to B\) என்ற சார்பானது ஒன்றுக்கு ஒன்றானதாகவும் மற்றும் மேல் சார்பாகவும் இருந்தால், அது எவ்வாறு அழைக்கப்படும்?
- A. (அ) மாறிலிச் சார்பு (Constant function)
- B. (ஆ) சமனிச் சார்பு (Identity function)
- C. (இ) இருபுறச் சார்பு (Bijection)சரி
- D. (ஈ) உட்சார்பு (Into function)
விளக்கம். ஒரு சார்பு ஒன்றுக்கு ஒன்றானதாகவும் (Injective) மற்றும் மேல் சார்பாகவும் (Surjective) இருந்தால், அது இருபுறச் சார்பு (Bijection / Bijective function) என அழைக்கப்படுகிறது.
Q9
\(f(x) = 2x + 1\) மற்றும் \(g(x) = x^2 - 2\) எனில், சார்புகளின் சேர்ப்பு \((g \\circ f)(1)\)-ன் மதிப்பு
- A. (அ) 1
- B. (ஆ) 3
- C. (இ) 7சரி
- D. (ஈ) 9
விளக்கம். முதலில், \(f(1) = 2(1) + 1 = 3\) ஆகும். அடுத்து, \((g \\circ f)(1) = g(f(1)) = g(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7\) ஆகும்.
Q10
\(f(x) = x + 2\) மற்றும் \(g(x) = 3x - 1\) எனில், \((f \\circ g)(x)\) ஆனது பின்வருவனவற்றில் எதற்குச் சமம்?
- A. (அ) \(3x + 1\)சரி
- B. (ஆ) \(3x + 5\)
- C. (இ) \(3x + 2\)
- D. (ஈ) \(3x - 1\)
விளக்கம். \((f \\circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x - 1) = (3x - 1) + 2 = 3x + 1\) ஆகும்.
Q11
\(f: A \\to B\) என்பது ஒரு மாறிலிச் சார்பு மற்றும் \(n(B) = 5\) எனில், \(f\)-ன் வீச்சகத்தின் (Range) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை என்ன?
- A. (அ) 0
- B. (ஆ) 1சரி
- C. (இ) 5
- D. (ஈ) கண்டறிய முடியாது
விளக்கம். மாறிலிச் சார்பு என்பது மதிப்பகத்தின் அனைத்து உறுப்புகளையும் துணை மதிப்பகத்தின் ஒரே ஒரு உறுப்புடன் மட்டுமே தொடர்புபடுத்துகிறது. எனவே, வளைவரையின் வீச்சகத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை எப்போதும் \(1\) ஆகும்.
Q12
\(f(x) = ax + b\) என்ற சார்பு மெய்யெண்களின் கணத்தின் மீதான ஒரு சமனிச் சார்பைக் (Identity function) குறித்தால், \(a\) மற்றும் \(b\)-ன் மதிப்புகள் முறையே
- A. (அ) \(a = 0, b = 1\)
- B. (ஆ) \(a = 1, b = 1\)
- C. (இ) \(a = 1, b = 0\)சரி
- D. (ஈ) \(a = 0, b = 0\)
விளக்கம். மெய்யெண்களின் கணத்தின் மீதான சமனிச் சார்பு என்பது \(f(x) = x\) ஆகும். இதனை \(ax + b\) உடன் ஒப்பிடும்போது, நமக்கு \(a = 1\) மற்றும் \(b = 0\) எனப் பெறப்படுகிறது.
Q13
\(f, g\) மற்றும் \(h\) என்பன மூன்று மெய் மதிப்புச் சார்புகள் எனில், அவற்றின் சேர்ப்பு பற்றிய பின்வரும் பண்புகளில் எது எப்போதும் சரியானது?
- A. (அ) சார்புகளின் சேர்ப்பு எப்போதும் பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது (Commutative)
- B. (ஆ) சார்புகளின் சேர்ப்பு எப்போதும் சேர்ப்புப் பண்பு உடையது (Associative)சரி
- C. (இ) சார்புகளின் சேர்ப்பானது பரிமாற்றுப் பண்போ அல்லது சேர்ப்புப் பண்போ அற்றது
- D. (ஈ) சார்புகளின் சேர்ப்பு பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது ஆனால் சேர்ப்புப் பண்பு அற்றது
விளக்கம். சார்புகளின் சேர்ப்பானது எப்போதும் சேர்ப்புப் பண்பu உடையது (Associative), அதாவது \((f \\circ g) \\circ h = f \\circ (g \\circ h)\) ஆகும். ஆனால், பொதுவாகப் பரிமாற்றுப் பண்பு உடையது அல்ல (\(f \\circ g \\neq g \\circ f\)).
Q14
\(A = \\{1, 2, 3\\}\) மற்றும் \(B = \\{4\\}\) எனில், கார்டீசியன் பெருக்கல் கணம் \(A \\times B\) ஆனது
- A. \(\\{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\\}\)சரி
- B. \(\\{(4, 1), (4, 2), (4, 3)\\}\)
- C. \(\\{1, 2, 3, 4\\}\)
- D. \(\\{(1, 4), (4, 2), (3, 4)\\}\)
விளக்கம். கார்டீசியன் பெருக்கல் \(A \\times B\) என்பது முதல் உறுப்பு \(A\)-லும் இரண்டாம் உறுப்பு \(B\)-லும் கொண்ட அனைத்து வரிசைச் சோடிகளின் கணமாகும். இங்கு \(A = \\{1, 2, 3\\}\) மற்றும் \(B = \\{4\\}\) என்பதால், \(A \\times B = \\{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\\}\) ஆகும்.
Q15
மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட \(f(x) = x^3\) என்ற சார்பின் வகை
- A. (அ) நேரிய சார்பு (Linear function)
- B. (ஆ) இருபடிச் சார்பு (Quadratic function)
- C. (இ) முப்படிச் சார்பு / கனச் சார்பு (Cubic function)சரி
- D. (ஈ) தலைகீழ்ச்சார்பு (Reciprocal function)
விளக்கம். \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \\neq 0\)) என்ற வடிவில் அமையும் சார்பு முப்படிச் சார்பு (Cubic function) எனப்படும். எனவே, \(f(x) = x^3\) என்பது ஒரு முப்படிச் சார்பாகும்.
