அளவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்திற்கான, பாடநூலில் இல்லாத 15 கூடுதல் வினாக்கள் — ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
ஒரு திண்ம நேர்வட்ட உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரத்தின் விகிதம் \(5:7\) ஆகும். அதன் வளைபரப்பு \(5500\) ச.செ.மீ எனில், உருளையின் ஆரத்தைக் காண்க.
- A. \(25\) செ.மீ
- B. \(35\) செ.மீசரி
- C. \(50\) செ.மீ
- D. \(15\) செ.மீ
விளக்கம். உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரத்தை முறையே \(5x\) மற்றும் \(7x\) என்க. வளைபரப்பு \(= 2\\pi r h = 2 \\times \\frac{22}{7} \\times 5x \\times 7x = 220 x^2 = 5500\). இதன் மூலம் \(x^2 = 25\), எனவே \(x = 5\) ஆகும். ஆரம் \(r = 5 \\times 5 = 25\) செ.மீ.
Q2
\(4\) செ.மீ தடிமனும், \(13\) செ.மீ உயரமும் கொண்ட ஓர் உள்ளீடற்ற மர உருளையின் வெளிப்புற ஆரம் \(16\) செ.மீ எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் காண்க.
- A. \(2992\) ச.செ.மீ
- B. \(1496\) ச.செ.மீசரி
- C. \(5984\) ச.செ.மீ
- D. \(2000\) ச.செ.மீ
விளக்கம். வெளிப்புற ஆரம் \(R=16\) செ.மீ, தடிமன் \(w=4\) செ.மீ என்பதால் உட்புற ஆரம் \(r=12\) செ.மீ. உயரம் \(h=13\) செ.மீ. மொத்தப் புறப்பரப்பு \(= 2\\pi(R+r)(R-r+h) = 2 \\times \\frac{22}{7} \\times 28 \\times (4+13) = 2992\) ச.செ.மீ.
Q3
\(6\) செ.மீ, \(8\) செ.மீ மற்றும் \(10\) செ.மீ பக்க அளவுகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அதன் \(8\) செ.மீ பக்கத்தை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றும்போது உருவாகும் கூம்பின் கன அளவு என்ன?
- A. \(96\\pi \\text{ செ.மீ}^3\)
- B. \(288\\pi \\text{ செ.மீ}^3\)
- C. \(100\\pi \\text{ செ.மீ}^3\)சரி
- D. \(480\\pi \\text{ செ.மீ}^3\)
விளக்கம். \(8\) செ.மீ பக்கத்தை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றும்போது உருவாகும் கூம்பின் ஆரம் \(r=6\) செ.மீ மற்றும் உயரம் \(h=8\) செ.மீ ஆகும். கூம்பின் கன அளவு \(= \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\times 6^2 \\times 8 = 96\\pi \\text{ செ.மீ}^3\).
Q4
ஒரு திண்மக் கோளத்தின் புறப்பரப்பு \(36\\pi\) ச.அலகுகள் எனில், அதன் ஆரம் யாது?
- A. \(3\) அலகுகள்
- B. \(6\) அலகுகள்
- C. \(9\) அலகுகள்சரி
- D. \(4.5\) அலகுகள்
விளக்கம். கோளத்தின் புறப்பரப்பு \(= 4\\pi r^2\). கொடுக்கப்பட்ட புறப்பரப்பு \(4\\pi r^2 = 36\\pi \\implies r^2 = 9 \\implies r = 3\) அலகுகள்.
Q5
ஒரு கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் சாய்வு உயரம் \(5\) செ.மீ ஆகும். அதன் இரு வட்ட விளிம்புகளின் ஆரங்கள் முறையே \(4\) செ.மீ மற்றும் \(1\) செ.மீ எனில், இடைக்கண்டத்தின் வளைபரப்பைக் காண்க.
- A. \(25\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)
- B. \(20\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)
- C. \(15\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)சரி
- D. \(30\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)
விளக்கம். இடைக்கண்டத்தின் வளைபரப்பு \(= \\pi(R+r)l\). கொடுக்கப்பட்டுள்ள மதிப்புகளைப் பிரதியிட வளைபரப்பு \(= \\pi(4+1) \\times 5 = 25\\pi\) ச.செ.மீ.
Q6
\(14\) செ.மீ விட்டம் கொண்ட ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் காண்க.
- A. \(147\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)சரி
- B. \(49\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)
- C. \(98\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)
- D. \(196\\pi \\text{ ச.செ.மீ}\)
விளக்கம். அரைக்கோளத்தின் விட்டம் \(14\) செ.மீ என்பதால் அதன் ஆரம் \(r=7\) செ.மீ ஆகும். திண்ம அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பு \(= 3\\pi r^2 = 3\\pi \\times 7^2 = 147\\pi\) ச.செ.மீ.
Q7
\(12\) செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்ம அலுமினியக் கோளம் உருக்கப்பட்டு, \(8\) செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்ம உருளையாக மாற்றப்படுகிறது எனில், அவ்வுருளையின் உயரத்தைக் காண்க.
- A. \(36\) செ.மீ
- B. \(18\) செ.மீ
- C. \(24\) செ.மீசரி
- D. \(32\) செ.மீ
விளக்கம். கோளத்தின் கன அளவு \(= \\frac{4}{3}\\pi (12)^3 = 2304\\pi\). உருளையின் கன அளவு \(= \\pi r^2 h = \\pi (8)^2 h = 64\\pi h\). இரண்டையும் சமன்படுத்த, \(64h = 2304 \\implies h = 36\) செ.மீ.
Q8
\(6\) செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்மக் கோளம் உருக்கப்பட்டு, சீரான தடிமனுள்ள ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையாக மாற்றப்படுகிறது. உருளையின் வெளிப்புற ஆரம் \(5\) செ.மீ மற்றும் உயரம் \(32\) செ.மீ எனில், அவ்வுருளையின் தடிமன் என்ன?
- A. \(1\) செ.மீ
- B. \(2\) செ.மீ
- C. \(1.5\) செ.மீசரி
- D. \(0.5\) செ.மீ
விளக்கம். கோளத்தின் கன அளவு \(= \\frac{4}{3}\\pi \\times 6^3 = 288\\pi\). உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு \(= \\pi(R^2-r^2)h = \\pi(25-r^2) \\times 32\). சமன்படுத்தினால் \(288 = 32(25-r^2) \\implies r^2 = 16 \\implies r = 4\). தடிமன் \(= R-r = 5-4 = 1\) செ.மீ.
Q9
இரண்டு திண்மக் கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் \(4:7\) எனில், அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதத்தைக் காண்க.
- A. \(64:343\)
- B. \(16:49\)சரி
- C. \(4:7\)
- D. \(8:343\)
விளக்கம். கோளங்களின் கன அளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஆரங்களின் கனங்களின் (cubes) விகிதத்திற்குச் சமம். எனவே, விகிதம் \(= 4^3:7^3 = 64:343\) ஆகும்.
Q10
சம ஆரங்கள் கொண்ட இரு கூம்புகளின் கன அளவுகள் முறையே \(3600 \\text{ செ.மீ}^3\) மற்றும் \(5040 \\text{ செ.மீ}^3\) எனில், அவற்றின் உயரங்களின் விகிதத்தைக் காண்க.
- A. \(5:7\)
- B. \(3:5\)
- C. \(5:9\)சரி
- D. \(2:3\)
விளக்கம். ஆரங்கள் சமம் என்பதால் கூம்புகளின் கன அளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் உயரங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகும். உயரங்களின் விகிதம் \(= 3600 : 5040 = 5 : 7\).
Q11
ஒரு கூம்பின் அடிப்புற ஆரம் மும்மடங்காகவும் அதன் உயரம் இருமடங்காகவும் மாறினால், புதிய கூம்பின் கன அளவு பழைய கூம்பின் கன அளவைப்போல எத்தனை மடங்காக மாறும்?
- A. \(18\) மடங்கு
- B. \(6\) மடங்குசரி
- C. \(12\) மடங்கு
- D. \(9\) மடங்கு
விளக்கம். கூம்பின் கன அளவு \(r^2 h\)-க்கு விகிதசமத்தில் இருக்கும். ஆரம் \(3\) மடங்காகவும் (\(3^2 = 9\) மடங்கு) மற்றும் உயரம் \(2\) மடங்காகவும் மாறினால் கன அளவு \(9 \\times 2 = 18\) மடங்காகும்.
Q12
ஒரு கூம்பின் இடைக்கண்டத்தின் உயரம் \(45\) செ.மீ. அதன் இருபுற ஆரங்கள் முறையே \(28\) செ.மீ மற்றும் \(7\) செ.மீ எனில், அதன் கன அளவைக் காண்க.
- A. \(48510 \\text{ செ.மீ}^3\)
- B. \(4851 \\text{ செ.மீ}^3\)சரி
- C. \(16170 \\text{ செ.மீ}^3\)
- D. \(97020 \\text{ செ.மீ}^3\)
விளக்கம். இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு \(= \\frac{1}{3}\\pi h (R^2+r^2+Rr) = \\frac{1}{3} \\times \\frac{22}{7} \\times 45 \\times (28^2+7^2+28 \\times 7) = 15 \\times \\frac{22}{7} \\times 1029 = 48510 \\text{ செ.மீ}^3\).
Q13
\(10\) மீ உட்புற விட்டமும் \(14\) மீ ஆழமும் கொண்ட ஓர் உருளை வடிவக் கிணற்றிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மண்ணைக் கொண்டு \(5\) மீ அகலத்தில் கிணற்றைச் சுற்றி ஒரு மேடை அமைக்கப்படுகிறது எனில், மேடையின் உயரத்தைக் காண்க.
- A. \(4.67\) மீ
- B. \(5.25\) மீசரி
- C. \(3.5\) மீ
- D. \(2.8\) மீ
விளக்கம். கிணற்றிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மண்ணின் கன அளவு \(= \\pi r^2 h = \\pi \\times 5^2 \\times 14 = 350\\pi\). மேடையின் கன அளவு \(= \\pi(R^2-r^2)h_m = \\pi(10^2-5^2)h_m = 75\\pi h_m\). சமன்படுத்த, \(75h_m = 350 \\implies h_m = 4.67\) மீ.
Q14
ஒரு திண்மக் கோளத்தின் புறப்பரப்பும் ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் புறப்பரப்பும் சமமாக இருக்குமானால், அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதத்தைக் காண்க.
- A. \(3\\sqrt{3}:4\)
- B. \(4:3\\sqrt{3}\)
- C. \(2\\sqrt{3}:9\)சரி
- D. \(9:2\\sqrt{3}\)
விளக்கம். கோளத்தின் ஆரம் \(R\), அரைக்கோளத்தின் ஆரம் \(r\) என்க. \(4\\pi R^2 = 3\\pi r^2 \\implies R/r = \\sqrt{3}/2\). கன அளவுகளின் விகிதம் \(= \\frac{4/3 \\pi R^3}{2/3 \\pi r^3} = 2 \\times (R/r)^3 = 2 \\times (\\sqrt{3}/2)^3 = 3\\sqrt{3}:4\).
Q15
ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் கன அளவு \(29106 \\text{ செ.மீ}^3\) ஆகும். அதில் மூன்றில் இரண்டு பங்கு கன அளவுள்ள மற்றொரு அரைக்கோளம் அதிலிருந்து செதுக்கப்படுமானால், புதிய அரைக்கோளத்தின் ஆரம் என்ன?
- A. \(21\) செ.மீ
- B. \(14\) செ.மீ
- C. \(28\) செ.மீசரி
- D. \(35\) செ.மீ
விளக்கம். புதிய அரைக்கோளத்தின் கன அளவு \(= \\frac{2}{3} \\times 29106 = 19404\) செ.மீ\(^3\). \(\\frac{2}{3} \\pi r^3 = 19404 \\implies \\frac{2}{3} \\times \\frac{22}{7} \\times r^3 = 19404 \\implies r^3 = 9261 \\implies r = 21\) செ.மீ.
