அளவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
15 செ.மீ உயரமும் 16 செ.மீ விட்டமும் கொண்ட ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் வளைபரப்பு
- A. \(60\pi\) ச.செ.மீ
- B. \(68\pi\) ச.செ.மீ
- C. \(120\pi\) ச.செ.மீ
- D. \(136\pi\) ச.செ.மீசரி
விளக்கம். கூம்பின் ஆரம் r = 8 செ.மீ மற்றும் உயரம் h = 15 செ.மீ ஆகும். சாயுயரம் \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{64 + 225} = 17\) செ.மீ. வளைபரப்பு \(= \pi r l = \pi \times 8 \times 17 = 136\pi\) ச.செ.மீ.
Q2
r அலகுகள் ஆரம் உடைய இரு சம அரைக்கோளங்களின் அடிப்பகுதிகள் இணைக்கப்படும் போது உருவாகும் திண்மத்தின் புறப்பரப்பு
- A. \(4\pi r^2\) ச.அசரி
- B. \(6\pi r^2\) ச.அ
- C. \(3\pi r^2\) ச.அ
- D. \(8\pi r^2\) ச.அ
விளக்கம். இரு சம அரைக்கோளங்களின் அடிப்பகுதிகளை இணைத்தால் ஒரு திண்மக் கோளம் உருவாகும். கோளத்தின் புறப்பரப்பு \(4\pi r^2\) சதுர அலகுகள் ஆகும்.
Q3
ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்டக் கூம்பின் உயரம்
- A. 12 செ.மீசரி
- B. 10 செ.மீ
- C. 13 செ.மீ
- D. 5 செ.மீ
விளக்கம். கூம்பின் உயரம் \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\) செ.மீ ஆகும்.
Q4
ஓர் உருளையின் உயரத்தை மாற்றாமல் அதன் ஆரத்தைப் பாதியாகக் கொண்டு புதிய உருளை உருவாக்கப்படுகிறது. புதிய மற்றும் முந்தைய உருளைகளின் கன அளவுகளின் விகிதம்
- A. 1:2
- B. 1:4சரி
- C. 1:6
- D. 1:8
விளக்கம். புதிய உருளையின் கன அளவு \(V_1 = \pi (r/2)^2 h\) மற்றும் முந்தைய உருளையின் கன அளவு \(V_2 = \pi r^2 h\). அவற்றின் விகிதம் \(V_1 : V_2 = \frac{1}{4} : 1 = 1:4\) ஆகும்.
Q5
ஓர் உருளையின் ஆரம் அதன் உயரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பு
- A. \(\frac{9\pi h^2}{8}\) ச.அ
- B. \(\frac{24\pi h^2}{9}\) ச.அ
- C. \(\frac{8\pi h^2}{9}\) ச.அசரி
- D. \(\frac{56\pi h^2}{9}\) ச.அ
விளக்கம். இங்கு r = h/3. மொத்தப் புறப்பரப்பு \(= 2\pi r(h + r) = 2\pi (h/3) (h + h/3) = \frac{2\pi h}{3} \left(\frac{4h}{3}\right)\) \(= \frac{8\pi h^2}{9}\) சதுர அலகுகள் ஆகும்.
Q6
ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையின் வெளிப்புற மற்றும் உட்புற ஆரங்களின் கூடுதல் 14 செ.மீ மற்றும் அதன் தடிமன் 4 செ.மீ ஆகும். உருளையின் உயரம் 20 செ.மீ எனில், அதனை உருவாக்கப் பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
- A. \(5600\pi\) க.செ.மீ
- B. \(11200\pi\) க.செ.மீசரி
- C. \(56\pi\) க.செ.மீ
- D. \(3600\pi\) க.செ.மீ
விளக்கம். கன அளவு \(= \pi h (R^2 - r^2) = \pi h (R+r)(R-r)\). இங்கு R+r=14, R-r=4 (தடிமன்), h=20. எனவே, கன அளவு \(= \pi \times 20 \times 14 \times 4 = 11200\pi\) க.செ.மீ.
Q7
ஒரு கூம்பின் அடிப்புற ஆரம் மும்மடங்காகவும் உயரம் இரு மடங்காகவும் மாறினால் கன அளவு எத்தனை மடங்காக மாறும்?
- A. 6 மடங்கு
- B. 18 மடங்குசரி
- C. 12 மடங்கு
- D. மாற்றமில்லை
விளக்கம். புதிய கூம்பின் கன அளவு \(= \frac{1}{3} \pi (3r)^2 (2h) = 18 \left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)\). எனவே, கன அளவு 18 மடங்காக மாறும்.
Q8
ஓர் அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு அதன் ஆரத்தினுடைய வர்க்கத்தின் ____ மடங்காகும்.
- A. \(\pi\)
- B. \(4\pi\)
- C. \(3\pi\)சரி
- D. \(2\pi\)
விளக்கம். அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு \(= 3\pi r^2\). எனவே, இது அதன் ஆரத்தின் வர்க்கத்தின் \(3\pi\) மடங்காகும்.
Q9
x செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்மக் கோளம் அதே ஆரமுள்ள ஒரு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது எனில், கூம்பின் உயரம்
- A. 3x செ.மீ
- B. x செ.மீ
- C. 4x செ.மீசரி
- D. 2x செ.மீ
விளக்கம். கோளத்தின் கன அளவு = கூம்பின் கன அளவு\(. \frac{4}{3}\pi x^3 = \frac{1}{3}\pi x^2 h\). இதிலிருந்து உயரம் h = 4x செ.மீ எனப் பெறலாம்.
Q10
16 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்ட ஆரங்கள் 8 செ.மீ மற்றும் 20 செ.மீ எனில், அதன் கன அளவு
- A. \(3328\pi\) க.செ.மீசரி
- B. \(3228\pi\) க.செ.மீ
- C. \(3240\pi\) க.செ.மீ
- D. \(3340\pi\) க.செ.மீ
விளக்கம். இடைக்கண்டத்தின் கன அளவு \(= \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 +\) Rr) \(= \frac{1}{3}\pi \times 16 \times (20^2 + 8^2 + 20 \times 8)\) \(= \frac{16\pi}{3} \times (400 + 64 + 160) = 3328\pi\) க.செ.மீ.
Q11
கீழ்க்காணும் எந்த இரு உருவங்களை இணைத்தால் ஓர் இறகுப்பந்தின் வடிவம் கிடைக்கும்.
- A. உருளை மற்றும் கோளம்
- B. அரைக்கோளம் மற்றும் கூம்பு
- C. கோளம் மற்றும் கூம்பு
- D. கூம்பின் இடைக்கண்டம் மற்றும் அரைக்கோளம்சரி
விளக்கம். இறகுப்பந்து என்பது ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்டமும், ஒரு அரைக்கோளமும் இணைந்த வடிவத்தைக் கொண்டதாகும்.
Q12
\(r_1\) அலகுகள் ஆரமுள்ள ஒரு கோளப்பந்து உருகப்பட்டு \(r_2\) அலகுகள் ஆரமுடைய 8 சமகோள பந்துகளாக ஆக்கப்படுகிறது எனில்\(, r_1 : r_2\)
- A. 2:1சரி
- B. 1:2
- C. 4:1
- D. 1:4
விளக்கம். பெரிய கோளத்தின் கன அளவு \(= 8 \times\) சிறிய கோளத்தின் கன அளவு\(. \frac{4}{3}\pi r_1^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r_2^3\) \implies \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = 8\) \implies \(r_1 : r_2 = 2:1\).
Q13
1 செ.மீ ஆரமும் 5 செ.மீ உயரமும் கொண்ட ஒரு மர உருளையிலிருந்து அதிகபட்ச கன அளவு கொண்ட கோளம் வெட்டி எடுக்கப்படுகிறது எனில், அதன் கன அளவு (க. செ.மீ-ல்)
- A. \(\frac{4}{3}\pi\)சரி
- B. \(\frac{10}{3}\pi\)
- C. \(5\pi\)
- D. \(\frac{20}{3}\pi\)
விளக்கம். மர உருளையிலிருந்து வெட்டி எடுக்கப்படும் கோளத்தின் அதிகபட்ச ஆரம் r = 1 செ.மீ (ஏனெனில் உருளையின் ஆரம் 1 செ.மீ). கோளத்தின் கன அளவு \(= \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\) க.செ.மீ.
Q14
இடைக்கண்டத்தை ஒரு பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு கூம்பின் உயரம் மற்றும் ஆரம் முறையே \(h_1\) அலகுகள் மற்றும் \(r_1\) அலகுகள் ஆகும். இடைக்கண்டத்தின் உயரம் மற்றும் சிறிய பகுதி ஆரம் முறையே \(h_2\) அலகுகள் மற்றும் \(r_2\) அலகுகள் மற்றும் \(h_2 : h_1 = 1 : 2\) எனில்\(, r_2 : r_1-\)ன் மதிப்பு
- A. 1:3
- B. 1:2சரி
- C. 2:1
- D. 3:1
விளக்கம். ஒத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளின்படி, ஆரங்களின் விகிதம் உயரங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாகும். எனவே\(, r_2 : r_1 = (h_1 - h_2) : h_1 = 1:2\).
Q15
சமமான விட்டம் மற்றும் உயரம் உடைய ஓர் உருளை, ஒரு கூம்பு மற்றும் ஒரு கோளத்தின் கன அளவுகளின் விகிதம்
- A. 1:2:3
- B. 2:1:3
- C. 1:3:2
- D. 3:1:2சரி
விளக்கம். உருளை, கூம்பு மற்றும் கோளத்தின் கன அளவுகள் முறையே \(\pi r^2 h, \frac{1}{3}\pi r^2 h, \frac{4}{3}\pi r^3\). இங்கு h = 2r. அவற்றின் விகிதம் \(2\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3 = 3:1:2\).
