புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
கீழ்க்காண்பவற்றுள் எது பரவல் அளவை அல்ல?
- A. வீச்சு
- B. திட்டவிலக்கம்
- C. கூட்டுச் சராசரிசரி
- D. விலக்க வர்க்கச் சராசரி
விளக்கம். வீச்சு, திட்டவிலக்கம் மற்றும் விலக்க வர்க்கச் சராசரி ஆகியவை பரவல் அளவைகளாகும். கூட்டுச் சராசரி என்பது ஒரு மையப் போக்கு அளவையாகும், எனவே அது பரவல் அளவை அல்ல.
Q2
8, 8, 8, 8, 8, ..., 8 ஆகிய தரவின் வீச்சு
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட தரவில் அனைத்து மதிப்புகளும் சமமாக இருப்பதால், மீப்பெரு மதிப்பு L = 8 மற்றும் மீச்சிறு மதிப்பு S = 8 ஆகும். வீச்சு R = L - S = 8 - 8 = 0.
Q3
சராசரியிலிருந்து கிடைக்கப் பெற்ற தரவுப் புள்ளிகளுடைய விலக்கங்களின் கூடுதலானது
- A. எப்போதும் மிகை எண்
- B. எப்போதும் குறை எண்
- C. பூச்சியம்சரி
- D. பூச்சியமற்ற முழுக்கள்
விளக்கம். சராசரியிலிருந்து தரவுப் புள்ளிகளின் விலக்கங்களின் கூடுதல் எப்போதும் பூச்சியம் ஆகும். அதாவது, \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\).
Q4
100 தரவுப் புள்ளிகளின் சராசரி 40 மற்றும் திட்டவிலக்கம் 3 எனில், தரவுகளின் வர்க்கங்களின் கூடுதலானது
- A. 40000
- B. 160900சரி
- C. 160000
- D. 30000
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்டவை: \(n = 100\), சராசரி \(\bar{x} = 40\), திட்டவிலக்கம் \(\sigma = 3\). திட்டவிலக்கம் காணும் சூத்திரம் \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2\). இதிலிருந்து, \(3^2 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 40^2 \implies 9 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600 \implies \frac{\sum x_i^2}{100} = 1609 \implies \sum x_i^2 = 160900\).
Q5
முதல் 20 இயல் எண்களின் விலக்க வர்க்கச் சராசரியானது
- A. 32.25
- B. 44.25
- C. 33.25சரி
- D. 30
விளக்கம். முதல் \(n\) இயல் எண்களின் விலக்க வர்க்கச் சராசரி (பரவற்படி) \(\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}\) ஆகும். இங்கு \(n = 20\), எனவே \(\sigma^2 = \frac{20^2 - 1}{12} = \frac{400 - 1}{12} = \frac{399}{12} = 33.25\).
Q6
ஒரு தரவின் திட்டவிலக்கலானது 3. ஒவ்வொரு மதிப்பையும் 5-ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் புதிய தரவின் விலக்க வர்க்கச் சராசரியானது
- A. 3
- B. 15
- C. 5
- D. 225சரி
விளக்கம். தரவின் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் \(k\)-ஆல் பெருக்கும்போது புதிய திட்டவிலக்கமும் \(k\) மடங்கு அதிகமாகும். புதிய திட்டவிலக்கம் = \(3 \times 5 = 15\). புதிய விலக்க வர்க்கச் சராசரி (பரவற்படி) = \((\text{திட்டவிலக்கம்})^2 = 15^2 = 225\).
Q7
x, y, z ஆகியவற்றின் திட்டவிலக்கம் p எனில், 3x + 5, 3y + 5, 3z + 5 ஆகியவற்றின் திட்டவிலக்கலானது
- A. 3p + 5
- B. 3pசரி
- C. p + 5
- D. 9p + 15
விளக்கம். ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியுடன் ஏதேனும் ஒரு மாறிலியைக் கூட்டும் போது திட்டவிலக்கம் மாறாது. ஆனால், ஒரு மாறிலியால் பெருக்கும் போது திட்டவிலக்கம் அக்குறிப்பிட்ட மாறிலியின் மடங்கு அதிகரிக்கும். எனவே, \(x, y, z\)-இன் திட்டவிலக்கம் \(p\) எனில், \(3x+5, 3y+5, 3z+5\)-இன் திட்டவிலக்கம் \(3p\) ஆகும்.
Q8
ஒரு தரவின் சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டுக் கெழு முறையே 4 மற்றும் 87.5% எனில் அதன் திட்டவிலக்கலானது
- A. 3.5சரி
- B. 3
- C. 4.5
- D. 2.5
விளக்கம். மாறுபாட்டுக் கெழு \(\text{C.V.} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%\) ஆகும். கொடுக்கப்பட்டவை: \(\bar{x} = 4\), \(\text{C.V.} = 87.5\%\). சூத்திரத்தில் பிரதியிட, \(87.5 = \frac{\sigma}{4} \times 100 \implies 87.5 \times 4 = 100\sigma \implies 350 = 100\sigma \implies \sigma = 3.5\).
Q9
கொடுக்கப்பட்டவைகளில் எது தவறானது?
- A. P(A) > 1சரி
- B. 0 ≤ P(A) <= 1
- C. P(∅) = 0
- D. P(A) + P(A̅) = 1
விளக்கம். நிகழ்தகவின் மதிப்பு எப்போதும் 0-க்கும் 1-க்கும் இடைப்பட்டதாகவே இருக்கும் (\(0 \le P(A) \le 1\)). எனவே, \(P(A) > 1\) என்பது தவறான கூற்றாகும்.
Q10
p சிவப்பு, q நீல, r பச்சை நிறைக் கூழாங்கற்கள் உள்ள ஒரு குடுவையில் இருந்து ஒரு சிவப்பு கூழாங்கல் எடுப்பதற்கான நிகழ் தகவானது
- A. \(\frac{q}{p + q + r}\)
- B. \(\frac{p}{p + q + r}\)சரி
- C. \(\frac{p + q}{p + q + r}\)
- D. \(\frac{p + r}{p + q + r}\)
விளக்கம். குடுவையிலுள்ள மொத்தக் கூழாங்கற்களின் எண்ணிக்கை \(n(S) = p + q + r\) ஆகும். சிவப்பு கூழாங்கற்களின் எண்ணிக்கை \(n(A) = p\). சிவப்பு கூழாங்கல் எடுப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{p}{p + q + r}\).
Q11
ஒரு புத்தகத்திலிருந்து சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு பக்கம் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. அந்தப் பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இட மதிப்பானது 7-ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ் தகவானது
- A. \(\frac{3}{10}\)
- B. \(\frac{7}{10}\)சரி
- C. \(\frac{3}{9}\)
- D. \(\frac{7}{9}\)
விளக்கம். தேர்ந்தெடுக்கப்படும் பக்க எண்ணின் ஒன்றாம் இலக்கத்தின் சாத்தியமான மதிப்புகள் \(S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) ஆகும், எனவே \(n(S) = 10\). ஒன்றாம் இலக்கம் 7-ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதற்கான வாய்ப்புகள் \(A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ஆகும், எனவே \(n(A) = 7\). தேவையான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{7}{10}\).
Q12
ஒரு நபருக்கு வேலை கிடைப்பதற்கான நிகழ் தகவானது \(\frac{x}{3}\). வேலை கிடைக்காமல் இருப்பதற்கான நிகழ் தகவு \(\frac{2}{3}\) எனில் x-யின் மதிப்பானது
விளக்கம். வேலை கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{x}{3}\) மற்றும் வேலை கிடைக்காமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A') = \frac{2}{3}\) ஆகும். நாம் அறிந்தது, \(P(A) + P(A') = 1 \implies \frac{x}{3} + \frac{2}{3} = 1 \implies \frac{x + 2}{3} = 1 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1\).
Q13
கமலம், குலுக்கல் போட்டியில் கலந்துகொண்டாள். அங்கு மொத்தம் 135 சீட்டுகள் விற்கப்பட்டன. கமலம் வெற்றி பெறுவதற்கான வாய்ப்பு \(\frac{1}{9}\) எனில், கமலம் வாங்கிய சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை
- A. 5
- B. 10
- C. 15சரி
- D. 20
விளக்கம். விற்கப்பட்ட மொத்த சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை \(n(S) = 135\). கமலம் வாங்கிய சீட்டுகளின் எண்ணிக்கை \(n(A)\) என்க. கமலம் வெற்றி பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{9} \implies \frac{n(A)}{135} = \frac{1}{9} \implies n(A) = \frac{135}{9} = 15\).
Q14
ஆங்கில எழுத்துகள் {a, b, ..., z}-யிலிருந்து ஓர் எழுத்து சமவாய்ப்பு முறையில் தேர்வு செய்யப்படுகிறது. அந்த எழுத்து x-க்கு முந்தைய எழுத்துகளில் ஒன்றாக இருப்பதற்கான நிகழ் தகவு
- A. \(\frac{12}{13}\)
- B. \(\frac{1}{13}\)
- C. \(\frac{23}{26}\)சரி
- D. \(\frac{3}{26}\)
விளக்கம். மொத்த ஆங்கில எழுத்துகளின் எண்ணிக்கை \(n(S) = 26\). ஆங்கில அகரவரிசையில் 'x' என்பது 24-வது எழுத்தாகும். எனவே, x-க்கு முந்தைய எழுத்துக்களின் எண்ணிக்கை (a முதல் w வரை) \(n(A) = 23\). தேவையான நிகழ்தகவு \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{23}{26}\).
Q15
ஒரு பணப்பையில் \`2000 நோட்டுகள் 10-ம், \`500 நோட்டுகள் 15-ம், \`200 நோட்டுகள் 25-ம் உள்ளன. ஒரு நோட்டு சமவாய்ப்பு முறையில் எடுக்கப்படுகின்றது எனில், அந்த நோட்டு \`500 நோட்டாகவோ அல்லது \`200 நோட்டாகவோ இருப்பதற்கான நிகழ் தகவு என்ன?
- A. \(\frac{1}{5}\)
- B. \(\frac{3}{10}\)
- C. \(\frac{2}{3}\)
- D. \(\frac{4}{5}\)சரி
விளக்கம். பணப்பையிலுள்ள மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை $n(S) = 10 + 15 + 25 = 50$. எடுக்கப்பட்ட நோட்டு \`500 அல்லது \`200 நோட்டாக இருப்பதற்கான சாதகமான வாய்ப்புகள் $n(A) = 15 + 25 = 40$. தேவையான நிகழ்தகவு $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$.
