புள்ளியியல் முறைகளும் பொருளாதார அளவையியலும் ஓர் அறிமுகம்: ஒரு மதிப்பெண் வினாக்கள், புத்தக வினா விடைகள் மற்றும் குறிப்புகள்

புள்ளியியல் முறைகளும் பொருளாதார அளவையியலும் ஓர் அறிமுகம் பற்றி

நடுத்தரம் ~90 நிமிடப் படிப்பு

விலை உயர்ந்தால் தேவை குறையும் என்று ஒரு பொருளாதாரக் கோட்பாடு சொல்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். அது உண்மையா, எந்த அளவுக்கு உண்மை என்று சரிபார்க்க நமக்குத் தரவும், அதைக் கையாளும் முறையும் வேண்டும். இந்தப் பாடம் இரண்டையும் தருகிறது: எண்களைச் சேகரித்துச் சுருக்கப் புள்ளியியல் (Statistics), அந்த எண்களைக் கொண்டு பொருளாதார உறவுகளைச் சோதிக்கப் பொருளாதார அளவையியல் (Econometrics).

புள்ளியியல் பகுதி தரவிலிருந்து தொடங்குகிறது: முதன்மைத் தரவு எது, இரண்டாம் நிலைத் தரவு எது, அளவுசார் தரவு பண்புசார் தரவிலிருந்து எப்படி வேறுபடுகிறது. பிறகு இரண்டு சுருக்க அளவைகளைப் படிக்கிறீர்கள்: மைய மதிப்புக்குக் கூட்டுச் சராசரி, பரவலுக்குத் திட்டவிலக்கம். விலை, தேவையின் அளவு போன்ற இரண்டு மாறிகள் சேர்ந்து நகர்கின்றனவா என்று ஒட்டுறவு (Correlation) சொல்கிறது. ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றை மதிப்பிட ஒரு சமன்பாட்டை உடன்தொடர்பு (Regression) தருகிறது.

பொருளாதார அளவையியல் பொருளாதாரக் கோட்பாடு, கணிதம், புள்ளியியல் மூன்றையும் இணைக்கிறது. Econometrics என்ற சொல்லை உருவாக்கியவர் ராக்னர் பிரிஷ் என்று கருதப்படுகிறது. நினைவில் வைக்க வேண்டியது சமவாய்ப்புப் பிழை உறுப்பு \(U_i\). நுகர்வு வருமானத்தை மட்டுமே சரியாகச் சார்ந்துள்ளது என்று கணித மாதிரி சொல்கிறது; சமன்பாடு விட்டுவிடும் அனைத்தையும் ஈடுசெய்யப் பொருளாதார அளவையியல் மாதிரி \(U_i\)-ஐச் சேர்க்கிறது. இந்தியாவின் அதிகாரப்பூர்வப் புள்ளியியல் அமைப்பு, P.C. மகலனோபிஸ் பற்றிய பகுதியுடன் பாடம் முடிகிறது.

நீங்கள் கற்பவை

• விவரிப்புப் புள்ளியியலை அனுமானப் புள்ளியியலிலிருந்து வேறுபடுத்துதல்.
• தரவை முதன்மை அல்லது இரண்டாம் நிலை என்றும், அளவுசார் அல்லது பண்புசார் என்றும் வகைப்படுத்துதல்.
• ஓர் எளிய தரவுத் தொகுதிக்குக் கூட்டுச் சராசரியையும் திட்டவிலக்கத்தையும் கணக்கிடுதல்.
• ஒட்டுறவுக் கெழுவின் குறியையும் அளவையும் கொண்டு பொருள் விளக்குதல்.
• எளிய நேர்கோட்டு உடன்தொடர்புச் சமன்பாட்டை எழுதி, சார்ந்த மாறியை மதிப்பிடப் பயன்படுத்துதல்.
• பொருளாதார அளவையியல் முறையின் படிநிலைகளையும், பிழை உறுப்பு ஏன் சேர்க்கப்படுகிறது என்பதையும் விளக்குதல்.

தொடங்குவதற்கு முன்

• எளிய இயற்கணிதச் சமன்பாடுகள், வரைபடத்தில் புள்ளிகளைக் குறித்தல்.
• தேவை, விலை, வருமானம், முதலீடு போன்ற அடிப்படைப் பொருளியல் சொற்கள்.
• சராசரி என்ற கருத்தும் நிகழ்தகவு பற்றிய அடிப்படைப் புரிதலும்.

புள்ளியியல் முறைகளும் பொருளாதார அளவையியலும் ஓர் அறிமுகம் — விரிவான விளக்கம்

புள்ளியியல், பொருளாதார அளவையியல் கருவிகள்: முக்கியக் கருத்துகள்

புள்ளியியலின் இயல்பும் பரப்பும்

எண் தரவுகளைச் சேகரித்தல், ஒழுங்குபடுத்துதல், வழங்குதல், பகுப்பாய்தல், பொருள் விளக்குதல் ஆகியவற்றுக்கான அறிவியல் புள்ளியியல். கொள்கை வகுக்கவும், விலை, உற்பத்தி மாற்றங்களைக் கவனிக்கவும், கோட்பாடுகளைச் சோதிக்கவும் பொருளியலாளர்கள் இதைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். இதற்கு வரம்புகள் உண்டு. இது தனிநபர்களை அல்ல, குழுக்களை (மொத்தங்களை) படிக்கிறது. அளவுசார் உண்மைகளைக் கையாள்வதால், நேர்மை போன்ற பண்புகளை ஆராயும் முன் தரவரிசைப்படுத்த வேண்டும். இதன் விதிகள் சராசரியாக மட்டுமே உண்மை. கவனமில்லாதவர் கையில் இது தவறான முடிவுகளுக்கு இட்டுச் செல்லலாம்.

தரவும் மையப்போக்கும்

புள்ளியியலின் மூலப்பொருள் தரவு. இயல்பின்படி அது அளவுசார் தரவு (வருமானம், உயரம் போன்று எண்களில் அளக்கப்படுவது) அல்லது பண்புசார் தரவு (பாலினம், திறன் போன்ற பண்புகள்). மூலத்தின்படி அது முதன்மைத் தரவு (கணக்கெடுப்புகள், வினாப்பட்டியல்கள் மூலம் நேரடியாகச் சேகரிக்கப்படுவது) அல்லது இரண்டாம் நிலைத் தரவு (வேறொருவர் ஏற்கெனவே சேகரித்து வெளியிட்டது). ஒரு தரவுத் தொகுதி முழுவதையும் ஒரே மதிப்பால் குறிக்க மையப்போக்கு அளவையைப் பயன்படுத்துகிறோம். அவற்றில் முக்கியமானது கூட்டுச் சராசரி, \(\bar{X} = \frac{\sum X}{N}\).

சிதறல் அளவைகள்

இரண்டு தரவுத் தொகுதிகளுக்கு ஒரே சராசரி இருந்தாலும் அவை மிகவும் வேறுபட்டிருக்கலாம். 49, 50, 51 என்ற மதிப்பெண்களுக்கும் 0, 50, 100 என்ற மதிப்பெண்களுக்கும் சராசரி 50 தான். இந்தப் பரவலை அளப்பது சிதறல் (Dispersion). கூட்டுச் சராசரியிலிருந்து உள்ள விலக்கங்களின் வர்க்கங்களுடைய சராசரியின் வர்க்கமூலமே திட்டவிலக்கம் (Standard Deviation). திட்டவிலக்கம் பெரிதாக இருந்தால் மதிப்புகள் பரந்து சிதறியுள்ளன; சராசரி அவற்றைக் குறைவாகவே பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது. நிதித்துறையில் இது இடர் அளவையாகப் பயன்படுகிறது.

ஒட்டுறவுப் பகுப்பாய்வு

இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான நேர்கோட்டு உறவின் திசையையும் அளவையும் ஒட்டுறவு அளக்கிறது. கார்ல் பியர்சனின் ஒட்டுறவுக் கெழு \(r\), \(-1\) முதல் \(+1\) வரை இருக்கும். நேர்மறை மதிப்பு என்றால் மாறிகள் ஒரே திசையில் நகர்கின்றன; எதிர்மறை மதிப்பு என்றால் எதிர்த் திசைகளில்; பூஜ்யம் என்றால் நேர்கோட்டு உறவு இல்லை. \(r\) அதிகமாக இருப்பதால் ஒரு மாறி மற்றொன்றை ஏற்படுத்துகிறது என்று நிரூபணம் ஆகாது.

உடன்தொடர்புப் பகுப்பாய்வு

ஒரு சார்ந்த மாறிக்கும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சார்பற்ற மாறிகளுக்கும் இடையிலான சார்பு உறவை உடன்தொடர்பு தருகிறது. இதனால் ஒன்றின் மதிப்பிலிருந்து மற்றொன்றின் மதிப்பை மதிப்பிடலாம். குழந்தைகளின் உயரம் சராசரியை நோக்கித் திரும்பிச் செல்லும் (regress) போக்கு உடையது என்ற பிரான்சிஸ் கால்டனின் கண்டுபிடிப்பிலிருந்து இந்தச் சொல் வந்தது. எந்த மாறி சார்ந்த மாறியாக இருக்க வேண்டும் என்பதைப் பொருளாதாரக் கோட்பாடு சொல்கிறது; எ.கா. நுகர்வோர் செலவு வருமானத்தின் மீதோ வரி வீதங்களின் மீதோ உடன்தொடர்புபடுத்தப்படுகிறது.

பொருளாதார அளவையியல் அறிமுகம்

கோட்பாடு, கணிதம், புள்ளியியல் அனுமானம் ஆகியவற்றைக் கொண்டு பொருளாதார உறவுகளுக்கு எண் மதிப்புகளைத் தருவது பொருளாதார அளவையியல். பொருளாதார அளவையியல் மாதிரியைத் துல்லியமான கணித மாதிரியிலிருந்து பிரிப்பது சமவாய்ப்புப் பிழை உறுப்பு \(U_i\). விடுபட்ட மாறிகள், மனித நடத்தையின் சமவாய்ப்புத் தன்மை, அளவீட்டுப் பிழைகள் ஆகியவற்றை இது குறிக்கிறது. முறை படிப்படியாகச் செல்கிறது: கோட்பாட்டைக் கூறுதல், கணித மாதிரியையும் பொருளாதார அளவையியல் மாதிரியையும் வரையறுத்தல், தரவு சேகரித்தல், அளவுருக்களை மதிப்பிடுதல், கருதுகோள்களைச் சோதித்தல், பிறகு மாதிரியை முன்கணிப்புக்கும் கொள்கைக்கும் பயன்படுத்துதல்.

இந்தியாவின் அதிகாரப்பூர்வப் புள்ளியியல் அமைப்பு

புள்ளியியல் மற்றும் திட்ட அமலாக்க அமைச்சகத்துக்கு (MOSPI) இரண்டு பிரிவுகள் உள்ளன: புள்ளியியல், திட்ட அமலாக்கம். புள்ளியியல் பிரிவுதான் தேசியப் புள்ளியியல் அலுவலகம் (NSO). அதற்குள் இரண்டு அலுவலகங்கள் உள்ளன. மத்தியப் புள்ளியியல் அலுவலகம் (CSO) தேசியக் கணக்குகளைத் தொகுக்கிறது, ஆண்டுத் தொழில் கணக்கெடுப்பை நடத்துகிறது, விலை, உற்பத்திக் குறியீடுகளைத் தயாரிக்கிறது. தேசிய மாதிரிக் கணக்கெடுப்பு அலுவலகம் (NSSO) பெரிய அளவிலான சமூக-பொருளாதாரக் கணக்கெடுப்புகளை நடத்துகிறது.

தவிர்க்க வேண்டிய பொதுவான தவறுகள்

• ஒட்டுறவை ஒரு காரணத்துக்கான நிரூபணமாகக் கருதுவது. \(r\) அதிகமாக இருந்தால், இரண்டு மாறிகள் நேர்கோட்டு முறையில் சேர்ந்து நகர்கின்றன என்பதை மட்டுமே அது காட்டுகிறது.
• பொருளாதார அளவையியல் சமன்பாட்டை எழுதும்போது \(U_i\)-ஐ விட்டுவிடுவது. அது இல்லாவிட்டால் அந்தச் சமன்பாடு துல்லியமான கணித மாதிரி; பொருளாதார அளவையியல் மாதிரி அல்ல.
• பண்புசார் தரவை நேரடியாகச் சூத்திரத்தில் போடுவது. நேர்மை, திறன் போன்ற பண்புகளை முதலில் வகைப்படுத்த வேண்டும் அல்லது தரவரிசை தர வேண்டும்.
• திட்டவிலக்கத்தை மையப்போக்கு அளவை என்று சொல்வது. அது சராசரியைச் சுற்றியுள்ள பரவலை அளக்கிறது; மையத்தை அல்ல.
• தெளிவாக வளைந்துள்ள தரவுக்கு நேர்கோட்டு உடன்தொடர்பைப் பொருத்துவது. நேர்கோட்டு உறவு என்று கொள்ளும் முன் சிதறல் வரைபடத்தைப் பாருங்கள்.

இவற்றை பயிற்சித் தேர்வு மூலம் சோதித்துப் பாருங்கள்; பிறகு விடையுடன் கூடிய வினாக்கள் பகுதியில் விரிவான விளக்கத்தைப் படியுங்கள்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள்

ஒட்டுறவுக்கும் உடன்தொடர்புக்கும் உள்ள வேறுபாடு என்ன?

ஒட்டுறவு இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான நேர்கோட்டு உறவின் திசையையும் வலிமையையும் அளக்கிறது; இரண்டு மாறிகளையும் ஒரே மாதிரி நடத்துகிறது. உடன்தொடர்பு ஒரு மாறியைச் சார்ந்த மாறியாகவும் மற்றொன்றைச் சார்பற்ற மாறியாகவும் கொள்கிறது. சார்பற்ற மாறியிலிருந்து சார்ந்த மாறியை மதிப்பிட ஒரு சமன்பாட்டைத் தருகிறது.

பொருளாதார அளவையியல் சமன்பாடுகளில் பிழை உறுப்பு ஏன் சேர்க்கப்படுகிறது?

பிழை உறுப்பு \(U_i\) மாதிரியில் விடுபட்ட மாறிகள், மனித நடத்தையில் உள்ள சமவாய்ப்புக் கூறு, தரவை அளப்பதில் ஏற்படும் பிழைகள் ஆகியவற்றை உள்ளடக்குகிறது. உண்மைத் தரவு ஒருபோதும் துல்லியமான சமன்பாட்டுக்குள் பொருந்துவதில்லை. எனவே பிழை உறுப்பு மாதிரியை நடைமுறைக்கு ஏற்றதாக்குகிறது. பொருளாதார அளவையியல் மாதிரியைக் கணித மாதிரியிலிருந்து பிரிக்கும் முக்கிய அம்சம் இதுவே.

முதன்மைத் தரவும் இரண்டாம் நிலைத் தரவும் எப்படி வேறுபடுகின்றன?

முதன்மைத் தரவை ஆய்வாளர் முதன்முறையாகக் கணக்கெடுப்புகள், நேர்காணல்கள், சோதனைகள், வினாப்பட்டியல்கள் மூலம் சேகரிக்கிறார். இரண்டாம் நிலைத் தரவை ரிசர்வ் வங்கி அல்லது புள்ளியியல் அலுவலகம் போன்ற வேறொருவர் ஏற்கெனவே சேகரித்திருப்பார்; அது வெளியிடப்பட்ட அல்லது வெளியிடப்படாத பதிவேடுகளிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.

திட்டவிலக்கம் என்றால் என்ன? அது ஏன் பயன்படுகிறது?

திட்டவிலக்கம் சிதறலின் தனி அளவை. மதிப்புகள் கூட்டுச் சராசரியிலிருந்து சராசரியாக எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளன என்பதை அது காட்டுகிறது. மதிப்பு சிறியதாக இருந்தால் தரவு சீராக உள்ளது; சராசரி அதை நன்கு பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது. மாறுபாட்டையும் இடரையும் அளக்கப் பொருளியலாளர்களும் முதலீட்டாளர்களும் இதைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.

இந்தியப் புள்ளியியலின் தந்தை என்று கருதப்படுபவர் யார்?

பேராசிரியர் P.C. மகலனோபிஸ். அவர் இந்தியப் புள்ளியியல் நிறுவனத்தை நிறுவினார்; தேசிய மாதிரிக் கணக்கெடுப்பைத் தொடங்கினார். அவரது பிறந்த நாளான ஜூன் 29 ஒவ்வோர் ஆண்டும் இந்தியாவில் தேசியப் புள்ளியியல் நாளாகக் கடைப்பிடிக்கப்படுகிறது.

மத்தியப் புள்ளியியல் அலுவலகம் என்ன செய்கிறது?

CSO நாடு முழுவதும் நடக்கும் புள்ளியியல் பணிகளை ஒருங்கிணைக்கிறது; புள்ளியியல் தரநிலைகளை வகுக்கிறது. தேசியக் கணக்குகளைத் தொகுக்கிறது, ஆண்டுத் தொழில் கணக்கெடுப்பை நடத்துகிறது, தொழில் உற்பத்திக் குறியீடு, நுகர்வோர் விலைக் குறியீடுகள் போன்ற குறியீடுகளைத் தயாரிக்கிறது.

பொருளியலில் புள்ளியியலின் வரம்புகள் யாவை?

நேர்மை, தலைமைப் பண்பு, பண்பாடு போன்ற பண்புசார் விஷயங்களைத் தரவரிசைப்படுத்தாமல் புள்ளியியல் நேரடியாகப் படிக்க முடியாது. அது தனிநபர்களை அல்ல, குழுக்களைக் கையாள்கிறது. அதன் விதிகள் சராசரியாக மட்டுமே உண்மை; துல்லியமாக அல்ல. போதிய அறிவு இல்லாதவர்கள் கையாளும் தரவு எளிதில் தவறான முடிவுகளுக்கு இட்டுச் செல்லும்.