முக்கோணவியல்: கூடுதல் ஒரு மதிப்பெண் வினா விடைகள், விளக்கத்துடன் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். முக்கோணவியல் முற்றொருமை \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\) என்பதாகும். இதிலிருந்து, \(\tan^2 \theta - \sec^2 \theta = -1\) எனப் பெறுகிறோம்.

விளக்கம். \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) என்பதால், \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\) ஆகும். \(\theta\) குறுங்கோணம் என்பதால், \(\cos \theta = \frac{4}{5}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta\) மற்றும் \(\tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta = 1\) என்பதால், இதன் மதிப்பு \(1\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\tan \theta + \cot \theta = 2\) என்பதை இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, \((\tan \theta + \cot \theta)^2 = 4 \implies \tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2\tan \theta\cot \theta = 4\) எனப் பெறுகிறோம். \(\tan \theta\cot \theta = 1\) என்பதால், \(\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 = 4 \implies \tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 2\) ஆகும்.

விளக்கம். கட்டிடத்தின் அடிக்கும் புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு \(x\) என்க. கட்டிடத்தின் உயரம் \(h = 30\text{ மீ}\). \(\tan 45^\circ = \frac{h}{x} \implies 1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\text{ மீ}\) ஆகும்.

விளக்கம். \((\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta\cos \theta) + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta\cos \theta) = 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2(1) = 2\) ஆகும்.

விளக்கம். சுவரில் ஏணி தொடும் உயரம் \(h\) என்க. ஏணியின் நீளம் (கர்ணம்) = \(15\text{ மீ}\). தரைக்கும் ஏணிக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் \(30^\circ\). எனவே, \(\sin 30^\circ = \frac{h}{15} \implies \frac{1}{2} = \frac{h}{15} \implies h = 7.5\text{ மீ}\) ஆகும்.

விளக்கம். தொகுதி மற்றும் பகுதியை \((1 - \cos \theta)\)-ஆல் பெருக்க, \(\sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \csc \theta - \cot \theta\) ஆகும்.

விளக்கம். கப்பல் கலங்கரை விளக்கத்திலிருந்து \(d\) தொலைவில் உள்ளது என்க. \(\tan 30^\circ = \frac{20}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{d} \implies d = 20\sqrt{3}\text{ மீ}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)\) ஆகும். \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\) என்பதால், இதன் மதிப்பு \(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = (1 - \sin^2 \theta) - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta\) ஆகும்.

விளக்கம். முதல் நிலையில் விமானத்தின் கிடைமட்டத் தொலைவு \(x_1\) என்க. \(\tan 60^\circ = \frac{1500}{x_1} \implies \sqrt{3} = \frac{1500}{x_1} \implies x_1 = \frac{1500}{\sqrt{3}} = 500\sqrt{3}\text{ மீ}\). இரண்டாம் நிலையில் கிடைமட்டத் தொலைவு \(x_2\) என்க. \(\tan 30^\circ = \frac{1500}{x_2} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1500}{x_2} \implies x_2 = 1500\sqrt{3}\text{ மீ}\). விமானம் கடந்த தொலைவு \(x_2 - x_1 = 1500\sqrt{3} - 500\sqrt{3} = 1000\sqrt{3}\text{ மீ}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^\circ\). எனவே, \(\csc 30^\circ = 2 \implies \csc^2 30^\circ = 4\). மேலும், \(\sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \sec^2 30^\circ = \frac{4}{3}\). எனவே மதிப்பு \(\frac{4 - \frac{4}{3}}{4 + \frac{4}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{16}{3}} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta\) மற்றும் \(\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta\). எனவே, சமன்பாடு \(\cos \theta\csc \theta + \sin \theta\sec \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta} + \sin \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = \cot \theta + \tan \theta\) ஆகும்.

விளக்கம். கட்டிடத்திற்கும் கோபுரத்திற்கும் இடையே உள்ள கிடைமட்டத் தொலைவு \(d\) என்க. அடியின் இறக்கக்கோணம் \(30^\circ\) என்பதால், \(\tan 30^\circ = \frac{15}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15}{d} \implies d = 15\sqrt{3}\text{ மீ}\) ஆகும். கோபுரத்தின் உச்சிக்கு மேல் உள்ள உயரம் \(h'\) எனில், \(\tan 60^\circ = \frac{h'}{d} \implies \sqrt{3} = \frac{h'}{15\sqrt{3}} \implies h' = 45\text{ மீ}\) ஆகும். எனவே கோபுரத்தின் மொத்த உயரம் \(45 + 15 = 60\text{ மீ}\) ஆகும்.

விளக்கம். நாம் அறிந்தது, \(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \implies (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1\) என்பதாகும். எனவே, \(\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}\) ஆகும். இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் கூட்ட, \(2\sec \theta = p + \frac{1}{p} = \frac{p^2 + 1}{p} \implies \sec \theta = \frac{p^2 + 1}{2p}\) ஆகும். எனவே, \(\cos \theta = \frac{2p}{p^2 + 1}\). கழிக்கும்போது, \(2\tan \theta = p - \frac{1}{p} = \frac{p^2 - 1}{p} \implies \tan \theta = \frac{p^2 - 1}{2p}\) ஆகும். எனவே, \(\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta=\frac{p^2 - 1}{2p} \cdot \frac{2p}{p^2 + 1} = \frac{p^2 - 1}{p^2 + 1}\) ஆகும்.