முக்கோணவியல்: புத்தகப் பயிற்சி ஒரு மதிப்பெண் ஆன்லைன் தேர்வு (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். \(\sin^2 \theta + \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \sin^2 \theta + \frac{1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\tan \theta \csc^2 \theta - \tan \theta = \tan \theta(\csc^2 \theta - 1) = \tan \theta \cot^2 \theta = \tan \theta \cdot \frac{1}{\tan^2 \theta} = \cot \theta\) ஆகும்.

விளக்கம். \((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \csc^2 \alpha + 2 + \cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha + 2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 4 + (1 + \cot^2 \alpha) + (1 + \tan^2 \alpha) = 7 + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha\) ஆகும். இதிலிருந்து \(k = 7\) எனப் பெறுகிறோம்.

விளக்கம். \(a^2 - 1 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 - 1 = 1 + 2\sin \theta\cos \theta - 1 = 2\sin \theta\cos \theta\). \(b = \sec \theta + \csc \theta = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta\cos \theta} = \frac{a}{\sin \theta\cos \theta}\) ஆகும். எனவே, \(b(a^2 - 1) = \frac{a}{\sin \theta\cos \theta} \cdot 2\sin \theta\cos \theta = 2a\) ஆகும்.

விளக்கம். \(x = \frac{\sec \theta}{5}\) மற்றும் \(\frac{1}{y} = \frac{\tan \theta}{5}\) ஆகும். எனவே, \(x^2 - \frac{1}{y^2} = \frac{\sec^2 \theta}{25} - \frac{\tan^2 \theta}{25} = \frac{\sec^2 \theta - \tan^2 \theta}{25} = \frac{1}{25}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\sin \theta = \cos \theta \implies \theta = 45^\circ\) ஆகும். எனவே, \(2\tan^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ - 1 = 2(1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}\) ஆகும்.

விளக்கம். \(x = a \tan \theta \implies \tan \theta = \frac{x}{a}\). \(y = b \sec \theta \implies \sec \theta = \frac{y}{b}\). நமக்குத் தெரிந்த முக்கோணவியல் முற்றுரிமை, \(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \implies \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) ஆகும்.

விளக்கம். \(\theta = 45^\circ\) எனப் பிரதியிட, \((1 + \tan 45^\circ + \sec 45^\circ)(1 + \cot 45^\circ - \csc 45^\circ) = (1 + 1 + \sqrt{2})(1 + 1 - \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2\) ஆகும்.

விளக்கம். \(p^2 - q^2 = (a \cot \theta + b \csc \theta)^2 - (b \cot \theta + a \csc \theta)^2 = a^2(\cot^2 \theta - \csc^2 \theta) + b^2(\csc^2 \theta - \cot^2 \theta) = a^2(-1) + b^2(1) = b^2 - a^2\) ஆகும்.

விளக்கம். கோபுரத்தின் உயரம் \(h\) மற்றும் அதன் நிழலின் நீளம் \(s\) என்க. கொடுக்கப்பட்ட விகிதம் \(\frac{h}{s} = \sqrt{3}\) ஆகும். எனவே, \(\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ\) ஆகும். ஏற்றக்கோணம் \(60^\circ\) ஆகும்.

விளக்கம். மின்கம்பத்தின் உயரம் \(h\) மற்றும் அடியிலிருந்து புள்ளிக்கான தொலைவு \(x\) என்க. \(\tan 30^\circ = \frac{h}{x} \implies x = h\sqrt{3}\). இரண்டாவது புள்ளியின் உயரம் \(b\) இலிருந்து இறக்கக்கோணம் \(60^\circ \implies \tan 60^\circ = \frac{b}{x} \implies x = \frac{b}{\sqrt{3}}\). எனவே, \(h\sqrt{3} = \frac{b}{\sqrt{3}} \implies h = \frac{b}{3}\) மீட்டர் ஆகும்.

விளக்கம். ஏற்றக்கோணம் \(45^\circ\) எனில் நிழலின் நீளம் \(s_1 = 60\) மீ. ஏற்றக்கோணம் \(30^\circ\) எனில் நிழலின் நீளம் \(s_2 = 60\sqrt{3}\) மீ. நிழலின் குறைவு \(x = s_2 - s_1 = 60\sqrt{3} - 60 = 60(\sqrt{3} - 1) = 60(1.732 - 1) = 60 \times 0.732 = 43.92\) மீ ஆகும்.

விளக்கம். பல அடுக்குக் கட்டிடத்தின் உயரம் \(H\) மற்றும் கட்டிடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(d\) என்க. \(\tan 30^\circ = \frac{H - 20}{d} \implies d = (H - 20)\sqrt{3}\) மற்றும் \(\tan 60^\circ = \frac{H}{d} \implies d = \frac{H}{\sqrt{3}}\) ஆகும். எனவே, \((H - 20)\sqrt{3} = \frac{H}{\sqrt{3}} \implies 3(H - 20) = H \implies 2H = 60 \implies H = 30\) மீ. தொலைவு \(d = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\) மீ ஆகும்.

விளக்கம். குட்டையான நபரின் உயரம் \(h\), உயரமான நபரின் உயரம் \(2h\) என்க. மையப்புள்ளியிலிருந்து இருவருக்குமான தொலைவு \(\frac{x}{2}\) ஆகும். \(\tan \theta = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}\) மற்றும் \(\tan(90^\circ - \theta) = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}\) ஆகும். \(\tan \theta \cdot \tan(90^\circ - \theta) = 1 \implies \frac{2h}{x} \cdot \frac{4h}{x} = 1 \implies 8h^2 = x^2 \implies h^2 = \frac{x^2}{8} \implies h = \frac{x}{2\sqrt{2}}\) மீட்டர் ஆகும்.

விளக்கம். ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம் \(H\) என்க. பிம்பத்தின் ஆழமும் \(H\) ஆகும். ஏற்றக்கோணம் \(\beta\) என்பதால், மேகத்தின் உயரம் புள்ளிக்கு மேல் \(H - h\). \(\tan \beta = \frac{H - h}{d} \implies d = \frac{H - h}{\tan \beta}\). இறக்கக்கோணம் \(45^\circ\) என்பதால், \(\tan 45^\circ = \frac{H + h}{d} \implies 1 = \frac{H + h}{d} \implies d = H + h\). எனவே, \(\frac{H - h}{\tan \beta} = H + h \implies H - h = H\tan \beta + h\tan \beta \implies H(1 - \tan \beta) = h(1 + \tan \beta) \implies H = h\frac{1 + \tan \beta}{1 - \tan \beta}\) மீட்டர் ஆகும்.