முக்கோணவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
\(\sin^2 \theta + \frac{1}{1 + \tan^2 \theta}\) -ன் மதிப்பு
- A. \(\tan^2 \theta\)
- B. 1சரி
- C. \(\cot^2 \theta\)
- D. 0
விளக்கம். \(\sin^2 \theta + \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \sin^2 \theta + \frac{1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) ஆகும்.
Q2
\(\tan \theta \csc^2 \theta - \tan \theta\) -ன் மதிப்பு
- A. \(\sec \theta\)
- B. \(\cot^2 \theta\)
- C. \(\sin \theta\)
- D. \(\cot \theta\)சரி
விளக்கம். \(\tan \theta \csc^2 \theta - \tan \theta = \tan \theta(\csc^2 \theta - 1) = \tan \theta \cot^2 \theta = \tan \theta \cdot \frac{1}{\tan^2 \theta} = \cot \theta\) ஆகும்.
Q3
\((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + k\) எனில், \(k\)-ன் மதிப்பு
விளக்கம். \((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + \csc^2 \alpha + 2 + \cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha + 2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 4 + (1 + \cot^2 \alpha) + (1 + \tan^2 \alpha) = 7 + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha\) ஆகும். இதிலிருந்து \(k = 7\) எனப் பெறுகிறோம்.
Q4
\(\sin \theta + \cos \theta = a\) மற்றும் \(\sec \theta + \csc \theta = b\) எனில், \(b(a^2 - 1)\)-ன் மதிப்பு
- A. 2aசரி
- B. 3a
- C. 0
- D. 2ab
விளக்கம். \(a^2 - 1 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 - 1 = 1 + 2\sin \theta\cos \theta - 1 = 2\sin \theta\cos \theta\). \(b = \sec \theta + \csc \theta = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta\cos \theta} = \frac{a}{\sin \theta\cos \theta}\) ஆகும். எனவே, \(b(a^2 - 1) = \frac{a}{\sin \theta\cos \theta} \cdot 2\sin \theta\cos \theta = 2a\) ஆகும்.
Q5
\(5x = \sec \theta\) மற்றும் \(\frac{5}{y} = \tan \theta\) எனில், \(x^2 - \frac{1}{y^2}\)-ன் மதிப்பு
- A. 25
- B. \(\frac{1}{25}\)சரி
- C. 5
- D. \(\frac{1}{5}\)
விளக்கம். \(x = \frac{\sec \theta}{5}\) மற்றும் \(\frac{1}{y} = \frac{\tan \theta}{5}\) ஆகும். எனவே, \(x^2 - \frac{1}{y^2} = \frac{\sec^2 \theta}{25} - \frac{\tan^2 \theta}{25} = \frac{\sec^2 \theta - \tan^2 \theta}{25} = \frac{1}{25}\) ஆகும்.
Q6
\(\sin \theta = \cos \theta\) எனில், \(2\tan^2 \theta + \sin^2 \theta - 1\)-ன் மதிப்பு
- A. \(-\frac{3}{2}\)
- B. \(\frac{3}{2}\)சரி
- C. \(\frac{2}{3}\)
- D. \(-\frac{2}{3}\)
விளக்கம். \(\sin \theta = \cos \theta \implies \theta = 45^\circ\) ஆகும். எனவே, \(2\tan^2 45^\circ + \sin^2 45^\circ - 1 = 2(1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2}\) ஆகும்.
Q7
\(x = a \tan \theta\) மற்றும் \(y = b \sec \theta\) எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது உண்மை?
- A. \(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)சரி
- B. \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
- C. \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
- D. \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)
விளக்கம். \(x = a \tan \theta \implies \tan \theta = \frac{x}{a}\). \(y = b \sec \theta \implies \sec \theta = \frac{y}{b}\). நமக்குத் தெரிந்த முக்கோணவியல் முற்றுரிமை, \(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \implies \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) ஆகும்.
Q8
\((1 + \tan \theta + \sec \theta)(1 + \cot \theta - \csc \theta)\)-ன் மதிப்பு
விளக்கம். \(\theta = 45^\circ\) எனப் பிரதியிட, \((1 + \tan 45^\circ + \sec 45^\circ)(1 + \cot 45^\circ - \csc 45^\circ) = (1 + 1 + \sqrt{2})(1 + 1 - \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 4 - 2 = 2\) ஆகும்.
Q9
\(a \cot \theta + b \csc \theta = p\) மற்றும் \(b \cot \theta + a \csc \theta = q\) எனில், \(p^2 - q^2\)-ன் மதிப்பு
- A. \(a^2 - b^2\)
- B. \(b^2 - a^2\)சரி
- C. \(a^2 + b^2\)
- D. \(b - a\)
விளக்கம். \(p^2 - q^2 = (a \cot \theta + b \csc \theta)^2 - (b \cot \theta + a \csc \theta)^2 = a^2(\cot^2 \theta - \csc^2 \theta) + b^2(\csc^2 \theta - \cot^2 \theta) = a^2(-1) + b^2(1) = b^2 - a^2\) ஆகும்.
Q10
ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \(\sqrt{3} : 1\) எனில், சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோண அளவானது
- A. 45^\circ
- B. 30^\circ
- C. 90^\circ
- D. 60^\circசரி
விளக்கம். கோபுரத்தின் உயரம் \(h\) மற்றும் அதன் நிழலின் நீளம் \(s\) என்க. கொடுக்கப்பட்ட விகிதம் \(\frac{h}{s} = \sqrt{3}\) ஆகும். எனவே, \(\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ\) ஆகும். ஏற்றக்கோணம் \(60^\circ\) ஆகும்.
Q11
ஒரு மின்கம்பமானது அதன் அடியில் சமதளப் பரப்பில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் \(30^\circ\) கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. முதல் புள்ளிக்கு \(b\) மீட்டர் உயரத்தில் உள்ள இரண்டாவது புள்ளியிலிருந்து மின்கம்பத்தின் அடிக்கு இறக்கக்கோணம் \(60^\circ\) எனில், மின்கம்பத்தின் உயரமானது (மீட்டரில்)
- A. \(\sqrt{3}b\)
- B. \(\frac{b}{3}\)சரி
- C. \(\frac{b}{2}\)
- D. \(\frac{b}{\sqrt{3}}\)
விளக்கம். மின்கம்பத்தின் உயரம் \(h\) மற்றும் அடியிலிருந்து புள்ளிக்கான தொலைவு \(x\) என்க. \(\tan 30^\circ = \frac{h}{x} \implies x = h\sqrt{3}\). இரண்டாவது புள்ளியின் உயரம் \(b\) இலிருந்து இறக்கக்கோணம் \(60^\circ \implies \tan 60^\circ = \frac{b}{x} \implies x = \frac{b}{\sqrt{3}}\). எனவே, \(h\sqrt{3} = \frac{b}{\sqrt{3}} \implies h = \frac{b}{3}\) மீட்டர் ஆகும்.
Q12
ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் \(60\) மீ ஆகும். சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோணம் \(30^\circ\)-லிருந்து \(45^\circ\)-ஆக உயரும்போது கோபுரத்தின் நிழலானது \(x\) மீ குறைகிறது எனில், \(x\)-ன் மதிப்பு
- A. 41.92 மீ
- B. 43.92 மீசரி
- C. 43 மீ
- D. 45.6 மீ
விளக்கம். ஏற்றக்கோணம் \(45^\circ\) எனில் நிழலின் நீளம் \(s_1 = 60\) மீ. ஏற்றக்கோணம் \(30^\circ\) எனில் நிழலின் நீளம் \(s_2 = 60\sqrt{3}\) மீ. நிழலின் குறைவு \(x = s_2 - s_1 = 60\sqrt{3} - 60 = 60(\sqrt{3} - 1) = 60(1.732 - 1) = 60 \times 0.732 = 43.92\) மீ ஆகும்.
Q13
பல அடுக்குக் கட்டிடத்தின் உச்சியிலிருந்து \(20\) மீ உயரமுள்ள கட்டிடத்தின் உச்சி, அடி ஆகியவற்றின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே \(30^\circ\) மற்றும் \(60^\circ\) எனில், பல அடுக்குக் கட்டிடத்தின் உயரம் மற்றும் இரு கட்டிடங்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவானது (மீட்டரில்)
- A. \(20, 10\sqrt{3}\)
- B. \(30, 5\sqrt{3}\)
- C. 20, 10
- D. \(30, 10\sqrt{3}\)சரி
விளக்கம். பல அடுக்குக் கட்டிடத்தின் உயரம் \(H\) மற்றும் கட்டிடங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(d\) என்க. \(\tan 30^\circ = \frac{H - 20}{d} \implies d = (H - 20)\sqrt{3}\) மற்றும் \(\tan 60^\circ = \frac{H}{d} \implies d = \frac{H}{\sqrt{3}}\) ஆகும். எனவே, \((H - 20)\sqrt{3} = \frac{H}{\sqrt{3}} \implies 3(H - 20) = H \implies 2H = 60 \implies H = 30\) மீ. தொலைவு \(d = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\) மீ ஆகும்.
Q14
இரண்டு நபர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \(x\) மீ ஆகும். முதல் நபரின் உயரமானது இரண்டாவது நபரின் உயரத்தைப் போல இரு மடங்காக உள்ளது. அவர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு நேர்க்கோட்டின் மையப் புள்ளியிலிருந்து இரு நபர்களின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணங்கள் நிரப்புக் கோணங்கள் எனில், குட்டையாக உள்ள நபரின் உயரம் (மீட்டரில்)
- A. \(\sqrt{2}x\)
- B. \(\frac{x}{2\sqrt{2}}\)சரி
- C. \(\frac{x}{2}\)
- D. 2x
விளக்கம். குட்டையான நபரின் உயரம் \(h\), உயரமான நபரின் உயரம் \(2h\) என்க. மையப்புள்ளியிலிருந்து இருவருக்குமான தொலைவு \(\frac{x}{2}\) ஆகும். \(\tan \theta = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}\) மற்றும் \(\tan(90^\circ - \theta) = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}\) ஆகும். \(\tan \theta \cdot \tan(90^\circ - \theta) = 1 \implies \frac{2h}{x} \cdot \frac{4h}{x} = 1 \implies 8h^2 = x^2 \implies h^2 = \frac{x^2}{8} \implies h = \frac{x}{2\sqrt{2}}\) மீட்டர் ஆகும்.
Q15
ஓர் ஏரியின் மேலே \(h\) மீ உயரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து மேகத்திற்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் \(\beta\). மேகப் பிம்பத்தின் இறக்கக்கோணம் \(45^\circ\) எனில், ஏரியிலிருந்து மேகத்திற்கு உள்ள உயரமானது (மீட்டரில்)
- A. \(h\frac{1 + \tan \beta}{1 - \tan \beta}\)சரி
- B. \(h\frac{1 - \tan \beta}{1 + \tan \beta}\)
- C. \(h\tan(45^\circ - \beta)\)
- D. இவை ஒன்றும் இல்லை
விளக்கம். ஏரியிலிருந்து மேகத்தின் உயரம் \(H\) என்க. பிம்பத்தின் ஆழமும் \(H\) ஆகும். ஏற்றக்கோணம் \(\beta\) என்பதால், மேகத்தின் உயரம் புள்ளிக்கு மேல் \(H - h\). \(\tan \beta = \frac{H - h}{d} \implies d = \frac{H - h}{\tan \beta}\). இறக்கக்கோணம் \(45^\circ\) என்பதால், \(\tan 45^\circ = \frac{H + h}{d} \implies 1 = \frac{H + h}{d} \implies d = H + h\). எனவே, \(\frac{H - h}{\tan \beta} = H + h \implies H - h = H\tan \beta + h\tan \beta \implies H(1 - \tan \beta) = h(1 + \tan \beta) \implies H = h\frac{1 + \tan \beta}{1 - \tan \beta}\) மீட்டர் ஆகும்.
