ஆயத்தொலை வடிவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்திற்கான, பாடநூலில் இல்லாத 15 கூடுதல் வினாக்கள் — ஒவ்வொன்றிலும் சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
\((0, 0)\), \((a, 0)\) மற்றும் \((0, b)\) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், பின்வருவனவற்றில் எது மெய்யாக இருக்க வேண்டும்?
- A. (அ) \(a + b = 0\)
- B. (ஆ) \(ab = 0\)சரி
- C. (இ) \(a^2 + b^2 = 0\)
- D. (ஈ) \(a = b\)
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், அவற்றால் உருவாக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு பூச்சியமாகும். \((0, 0)\), \((a, 0)\) மற்றும் \((0, b)\) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு \(\frac{1}{2}|ab|\) ஆகும். இதன் பரப்பளவை பூச்சியத்திற்குச் சமன்படுத்தும்போது \(ab = 0\) எனப் பெறுகிறோம்.
Q2
\((1, -2)\), \((3, 6)\) மற்றும் \((-4, 5)\) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையம் எது?
- A. (அ) \((0, 3)\)சரி
- B. (ஆ) \((0, 9)\)
- C. (இ) \((1, 3)\)
- D. (ஈ) \((0, 2)\)
விளக்கம். \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) மற்றும் \((x_3, y_3)\) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டு மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\) ஆகும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கு நடுக்கோட்டு மையம் \(\left(\frac{1+3-4}{3}, \frac{-2+6+5}{3}\right) = (0, 3)\) ஆகும்.
Q3
ஒரு நேர்க்கோட்டின் சாய்வுக் கோணம் \(150^\circ\) எனில், அதன் சாய்வு என்ன?
- A. (அ) \(\sqrt{3}\)
- B. (ஆ) \(-\sqrt{3}\)
- C. (இ) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
- D. (ஈ) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)சரி
விளக்கம். சாய்வுக் கோணம் \(\theta\) கொண்ட நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(m = \tan \theta\) ஆகும். இங்கு, \(\theta = 150^\circ\) என்பதால், சாய்வு \(m = \tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) ஆகும்.
Q4
\((a, 3)\) மற்றும் \((4, 7)\) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோடானது, சாய்வு \(2\) கொண்ட நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாக அமைகிறது எனில், \(a\)-யின் மதிப்பு என்ன?
- A. (அ) \(12\)சரி
- B. (ஆ) \(-12\)
- C. (இ) \(6\)
- D. (ஈ) \(-4\)
விளக்கம். இரு கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில், அவற்றின் சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் \(-1\) ஆகும். எனவே, \((a, 3)\) மற்றும் \((4, 7)\) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(-\frac{1}{2}\) இருக்க வேண்டும். \(\frac{7-3}{4-a} = -\frac{1}{2}\) என்பதைத் தீர்க்கும்போது \(4-a = -8\) எனப் பெறுகிறோம். இதனைச் சுருக்கும்போது, \(a = 12\) ஆகும்.
Q5
\((-5, 8)\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், \(Y\)-அச்சுக்கு இணையாக அமைவதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு என்ன?
- A. (அ) \(y = 8\)
- B. (ஆ) \(x = -5\)சரி
- C. (இ) \(y = -5\)
- D. (ஈ) \(x = 8\)
விளக்கம். \(Y\)-அச்சுக்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(x = c\) வடிவத்தில் இருக்கும். இக்கோடானது \((-5, 8)\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதால், இதன் \(x\)-ஆயத்தொலைவு எப்போதும் மாறிலியாக \(-5\) ஆக இருக்கும். எனவே, தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(x = -5\) ஆகும்.
Q6
\(5x + 2y - 9 = 0\) என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
- A. (அ) \(\frac{5}{2}\)
- B. (ஆ) \(-\frac{5}{2}\)சரி
- C. (இ) \(\frac{2}{5}\)
- D. (ஈ) \(-\frac{2}{5}\)
விளக்கம். ஒரு நேர்க்கோட்டின் பொதுவான வடிவம் \(ax + by + c = 0\) எனில், அதன் சாய்வு \(m = -\frac{a}{b}\) ஆகும். இங்கு \(5x + 2y - 9 = 0\) என்ற கோட்டிற்கு \(a = 5\) மற்றும் \(b = 2\) என்பதால், அதன் சாய்வு \(-\frac{5}{2}\) ஆகும்.
Q7
\((4, 3)\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், ஆய அச்சுகளின் மேல் சமமான வெட்டுத்துண்டுகளை உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு என்ன?
- A. (அ) \(x + y = 7\)சரி
- B. (ஆ) \(x - y = 1\)
- C. (இ) \(x + y = 1\)
- D. (ஈ) \(3x + 4y = 25\)
விளக்கம். வெட்டுத்துண்டு வடிவில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) ஆகும். இங்கு சமமான வெட்டுத்துண்டுகள் என்பதால் \(a = b\) ஆகும். எனவே, சமன்பாடு \(x + y = a\) என மாறும். இதில் \((4, 3)\) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட \(4 + 3 = a \implies a = 7\) எனப் பெறுகிறோம். எனவே தேவையான சமன்பாடு \(x + y = 7\) ஆகும்.
Q8
\(3x - 4y + 12 = 0\) என்ற நேர்க்கோட்டின் \(Y\)-வெட்டுத்துண்டு என்ன?
- A. (அ) \(-3\)
- B. (ஆ) \(3\)சரி
- C. (இ) \(-4\)
- D. (ஈ) \(4\)
விளக்கம். நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டில் \(x = 0\) எனப் பிரதியிடுவதன் மூலம் \(Y\)-வெட்டுத்துண்டைக் கண்டறியலாம். \(3x - 4y + 12 = 0\) என்ற சமன்பாட்டில் \(x = 0\) எனப் பிரதியிட, \(-4y + 12 = 0\) எனப் பெறுகிறோம். இதனைச் சுருக்கும்போது, \(y = 3\) எனப் பெறப்படுகிறது.
Q9
\((2, 5)\) மற்றும் \((-4, 9)\) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டிற்குச் செங்குத்தான நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
- A. (அ) \(-\frac{2}{3}\)
- B. (ஆ) \(\frac{3}{2}\)சரி
- C. (இ) \(-\frac{3}{2}\)
- D. (ஈ) \(\frac{2}{3}\)
விளக்கம். \((2, 5)\) மற்றும் \((-4, 9)\) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் சாய்வு \(m_1 = \frac{9-5}{-4-2} = -\frac{2}{3}\) ஆகும். தேவையான கோடு இதற்குச் செங்குத்தாக இருப்பதால், அதன் சாய்வு \(m_2\) ஆனது \(m_1 \times m_2 = -1\) என்ற நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும். எனவே, \(m_2 = \frac{3}{2}\) ஆகும்.
Q10
\(3x - y + 5 = 0\) என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு இணையான நேர்க்கோடு பின்வருவனவற்றில் எது?
- A. (அ) \(3x + y - 2 = 0\)
- B. (ஆ) \(x - 3y + 4 = 0\)
- C. (இ) \(6x - 2y + 7 = 0\)சரி
- D. (ஈ) \(x + 3y - 1 = 0\)
விளக்கம். இரு நேர்க்கோடுகள் இணையாக இருக்க வேண்டுமானால் அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும். \(3x - y + 5 = 0\) என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(3\) ஆகும். இதில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள \(6x - 2y + 7 = 0\) என்ற கோட்டை \(2(3x - y) + 7 = 0\) என எழுதலாம். இதன் சாய்வும் \(3\) என்பதால் இவ்விரு கோடுகளும் இணையாகும்.
Q11
ஆதிப்புள்ளி \((0, 0)\) வழிச் செல்வதும், \(x + 2y - 3 = 0\) என்ற நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாக அமைவதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு என்ன?
- A. (அ) \(2x - y = 0\)சரி
- B. (ஆ) \(x - 2y = 0\)
- C. (இ) \(2x + y = 0\)
- D. (ஈ) \(x + 2y = 0\)
விளக்கம். \(x + 2y - 3 = 0\) என்ற நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(-\frac{1}{2}\) ஆகும். இதற்குச் செங்குத்தான நேர்க்கோட்டின் சாய்வு \(2\) ஆகும். இச்செங்குத்துக் கோடு ஆதிப்புள்ளி \((0, 0)\) வழிச் செல்வதால், அதன் சமன்பாடு \(y = 2x\), அதாவது \(2x - y = 0\) ஆகும்.
Q12
ஒரு நாற்கரத்தின் முனைப் புள்ளிகள் வரிசையாக \((0, 0)\), \((a, 0)\), \((a, b)\) மற்றும் \((0, b)\) (இங்கு \(a > 0, b > 0\)) எனில், அந்த நாற்கரத்தின் பரப்பளவு என்ன?
- A. (அ) \(ab\)சரி
- B. \(\frac{1}{2}ab\)
- C. (இ) \(2ab\)
- D. (ஈ) \(a^2 + b^2\)
விளக்கம். முனைப் புள்ளிகள் \((0, 0)\), \((a, 0)\), \((a, b)\) மற்றும் \((0, b)\) ஆகியவை ஆய அச்சுகளின் வழியே \(a\) மற்றும் \(b\) பக்க அளவுகள் கொண்ட ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்குகின்றன. செவ்வகத்தின் பரப்பளவு அதன் நீளம் மற்றும் அகலத்தின் பெருக்கற்பலனான \(ab\) ஆகும்.
Q13
\(x - y + 2 = 0\) மற்றும் \(2x + y - 5 = 0\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி எது?
- A. (அ) \((1, 3)\)சரி
- B. (ஆ) \((3, 1)\)
- C. (இ) \((-1, 1)\)
- D. (ஈ) \((2, 4)\)
விளக்கம். வெட்டுப் புள்ளியைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட இரு நேரிய சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க வேண்டும். \(x - y + 2 = 0\) மற்றும் \(2x + y - 5 = 0\) ஆகிய சமன்பாடுகளைக் கூட்டும்போது \(3x - 3 = 0 \implies x = 1\) எனப் பெறுகிறோம். \(x = 1\) என முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட \(y = 3\) எனப் பெறப்படுகிறது. எனவே, வெட்டும் புள்ளி \((1, 3)\) ஆகும்.
Q14
\((1, -1)\) மற்றும் \((3, 5)\) ஆகிய புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு என்ன?
- A. (அ) \(3x - y - 4 = 0\)சரி
- B. (ஆ) \(3x + y - 2 = 0\)
- C. (இ) \(x - 3y - 4 = 0\)
- D. (ஈ) \(x + 3y + 2 = 0\)
விளக்கம். \((x_1, y_1)\) மற்றும் \((x_2, y_2)\) ஆகிய இரு புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு \(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\) ஆகும். இதில் \((1, -1)\) மற்றும் \((3, 5)\) ஆகிய புள்ளிகளைப் பிரதியிட, \(\frac{y + 1}{6} = \frac{x - 1}{2}\) எனப் பெறுகிறோம். இதனைச் சுருக்கும்போது, \(3x - y - 4 = 0\) எனப் பெறப்படுகிறது.
Q15
\((2, k)\) மற்றும் \((k, 11)\) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு \(2\) எனில், \(k\)-யின் மதிப்பு என்ன?
- A. (அ) \(3\)
- B. (ஆ) \(4\)
- C. (இ) \(5\)சரி
- D. (ஈ) \(6\)
விளக்கம். கோட்டின் சாய்வுக்கான சூத்திரம் \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ஆகும். இதனை சாய்வு \(2\) இக்குச் சமன்படுத்த, \(\frac{11 - k}{k - 2} = 2\) எனப் பெறுகிறோம். குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய, \(11 - k = 2(k - 2) \implies 11 - k = 2k - 4 \implies 3k = 15 \implies k = 5\) எனப் பெறப்படுகிறது.
