ஆயத்தொலை வடிவியல் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
(−5,0), (0,−5) மற்றும் (5,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
- A. 0 ச.அலகுகள்
- B. 25 ச.அலகுகள்சரி
- C. 5 ச.அலகுகள்
- D. எதுவுமில்லை
விளக்கம். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A(-5,0), B(0,-5) மற்றும் C(5,0). முக்கோணத்தின் பரப்பு = 1/2 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)| = 1/2 |-5(-5-0) + 0(0-0) + 5(0-(-5))| = 1/2 |25 + 0 + 25| = 25 சதுர அலகுகள்.
Q2
ஒரு சுவரின் அருகே நடந்து சென்று கொண்டிருக்கும் ஒரு நபருக்கும் சுவருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 10 அலகுகள். சுவரை Y-அச்சாகக் கருதினால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை என்பது
- A. x = 10சரி
- B. y = 10
- C. x = 0
- D. y = 0
விளக்கம். நபர் Y-அச்சுக்கு (சுவருக்கு) இணையாக 10 அலகுகள் தொலைவில் நடக்கிறார். எனவே அவரது பாதை x = 10 என்ற நேர்க்கோடாகும்.
Q3
x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது
- A. X-அச்சுக்கு இணை
- B. Y-அச்சுக்கு இணைசரி
- C. ஆதிப் புள்ளி வழிச் செல்லும்
- D. (0,11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்
விளக்கம். x = c என்ற வடிவில் உள்ள சமன்பாடுகள் Y-அச்சுக்கு இணையாக அமையும். எனவே, x = 11 என்ற நேர்க்கோடு Y-அச்சுக்கு இணையாகும்.
Q4
(5,7), (3,p) மற்றும் (6,6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில், p-யின் மதிப்பு
விளக்கம். புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை என்பதால், சாய்வுகள் சமம். (p - 7) / (3 - 5) = (6 - p) / (6 - 3) => (p - 7) / -2 = (6 - p) / 3 => 3p - 21 = -12 + 2p => p = 9.
Q5
3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
- A. (5,3)
- B. (2,4)
- C. (3,5)சரி
- D. (4,4)
விளக்கம். 3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஆகியவற்றைத் தீர்க்கும் போது, x + y = 8 இலிருந்து y = 8 - x எனப் பிரதியிட, 3x - (8 - x) = 4 => 4x = 12 => x = 3. எனவே y = 8 - 3 = 5. சந்திக்கும் புள்ளி (3,5) ஆகும்.
Q6
(12,3) மற்றும் (4,a) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு 1/8 எனில், 'a'-யின் மதிப்பு
விளக்கம். சாய்வு m = (y2 - y1) / (x2 - x1) => 1/8 = (a - 3) / (4 - 12) => 1/8 = (a - 3) / -8 => a - 3 = -1 => a = 2.
Q7
(0,0) மற்றும் (-8,8) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு
- A. -1
- B. 1சரி
- C. 1/3
- D. -8
விளக்கம். (0,0) மற்றும் (-8,8) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு m1 = (8 - 0) / (-8 - 0) = -1. செங்குத்துக் கோட்டின் சாய்வு m2 = -1 / m1 = -1 / -1 = 1.
Q8
கோட்டுத்துண்டு PQ-யின் சாய்வு 1/3 எனில், PQ-க்கு செங்குத்தான இருசமவெட்டியின் சாய்வு
- A. 3
- B. -3சரி
- C. 1/3
- D. 0
விளக்கம். PQ-ன் சாய்வு 1/3. PQ-க்கு செங்குத்தான எந்தவொரு கோட்டின் சாய்வும் (செங்குத்து இருசமவெட்டி உட்பட) m = -1 / (1/3) = -3 ஆகும்.
Q9
Y அச்சில் அமையும் புள்ளி A-யின் செங்குத்துத் தொலைவு 8 மற்றும் X அச்சில் அமையும் புள்ளி B-யின் கிடைமட்டத் தொலைவு 5 எனில், AB என்ற நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
- A. 8x + 5y = 40சரி
- B. 8x - 5y = 40
- C. x = 8
- D. y = 5
விளக்கம். A என்பது Y-அச்சில் உள்ளது (b = 8) மற்றும் B என்பது X-அச்சில் உள்ளது (a = 5). வெட்டுத்துண்டு வடிவம்: x/a + y/b = 1 => x/5 + y/8 = 1 => 8x + 5y = 40.
Q10
7x - 3y + 4 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும், ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு
- A. 7x - 3y + 4 = 0
- B. 3x - 7y + 4 = 0
- C. 3x + 7y = 0சரி
- D. 7x - 3y = 0
விளக்கம். 7x - 3y + 4 = 0-க்கு செங்குத்தான கோடு 3x + 7y + k = 0 வடிவில் இருக்கும். இது ஆதிப்புள்ளி (0,0) வழிச் செல்வதால் k = 0. எனவே சமன்பாடு 3x + 7y = 0.
Q11
நேர்க்கோடுகள் (i) l1 : 3y = 4x + 5 (ii) l2 : 4y = 3x - 1 (iii) l3 : 4y + 3x = 7 (iv) l4 : 4x + 3y = 2 எனில், கீழ்க்காணும் கூற்றுகளில் எது உண்மை?
- A. l1 மற்றும் l2 செங்குத்தானவை
- B. l1 மற்றும் l4 இணையானவை
- C. l2 மற்றும் l4 செங்குத்தானவைசரி
- D. l2 மற்றும் l3 இணையானவை
விளக்கம். l2-ன் சாய்வு m2 = 3/4. l4-ன் சாய்வு m4 = -4/3. சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் m2 * m4 = (3/4) * (-4/3) = -1. எனவே, l2 மற்றும் l4 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.
Q12
8y = 4x + 21 என்ற நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்கு கீழ்க்காண்பனவற்றில் எது உண்மை?
- A. சாய்வு 0.5 மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு 2.6சரி
- B. சாய்வு 5 மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு 1.6
- C. சாய்வு 0.5 மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு 1.6
- D. சாய்வு 5 மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு 2.6
விளக்கம். 8y = 4x + 21 இலிருந்து y = (4/8)x + (21/8) => y = 0.5x + 2.625. எனவே சாய்வு m = 0.5 மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு தோராயமாக 2.6 ஆகும்.
Q13
ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சரிவகமாக அமையத் தேவையான நிபந்தனை
- A. இரு பக்கங்கள் இணை
- B. இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவைசரி
- C. எதிர்கதிர் பக்கங்கள் இணை
- D. அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம்
விளக்கம். ஒரு நாற்கரத்தில் ஒரு ஜோடி எதிர் பக்கங்கள் இணையாகவும், மற்றொரு ஜோடி எதிர் பக்கங்கள் இணையற்றதாகவும் இருந்தால் அது சரிவகம் எனப்படும்.
Q14
சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை
- A. இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்
- B. இரு ஜோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்சரி
- C. அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்
- D. இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்
விளக்கம். நாற்கரத்தின் இரு ஜோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகளும் சமமாக இருந்தால், அது இணைகரம் ஆகும்.
Q15
(2, 1) ஐ சந்திப்பு புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்
- A. x - y - 3 = 0, 3x - y - 7 = 0
- B. x + y = 3, 3x + y = 7சரி
- C. 3x + y = 3, x + 3y = 7
- D. x + y - 3 = 0, 3x - y - 7 = 0
விளக்கம். x + y = 3 மற்றும் 3x + y = 7 ஆகிய சமன்பாடுகளில் (2,1)-ஐப் பிரதியிடும் போது, 2 + 1 = 3 மற்றும் 3(2) + 1 = 7 என இரு சமன்பாடுகளும் நிறைவு பெறுகின்றன.
