உறவுகளும் சார்புகளும் (பத்தாம் வகுப்பு கணிதவியல், சமச்சீர் கல்வி) அத்தியாயத்தின் ஒவ்வொரு புத்தகப் பயிற்சி வினாவும் இங்கே — சரியான விடை தனித்துக் காட்டப்பட்டு, தெளிவான படிப்படியான விளக்கத்துடன். தமிழிலும் ஆங்கிலத்திலும் இலவசமாகப் படிக்கலாம்.
Q1
$n(A \times B) = 6$ மற்றும் $A = \{1, 3\}$ எனில், $n(B)$ ஆனது
விளக்கம். $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$ என்பது நமக்குத் தெரியும்.
இங்கு, $A = \{1, 3\} \implies n(A) = 2$.
மேலும், $n(A \times B) = 6$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, $2 \times n(B) = 6 \implies n(B) = 3$.
Q2
$A = \{a, b, p\}$, $B = \{2, 3\}$ மற்றும் $C = \{p, q, r, s\}$ எனில், $n((A \cup C) \times B)$ ஆனது
- A. 8
- B. 20
- C. 12சரி
- D. 16
விளக்கம். $A \cup C = \{a, b, p, q, r, s\} \implies n(A \cup C) = 6$ ஆகும்.
மேலும், $B = \{2, 3\} \implies n(B) = 2$ ஆகும்.
எனவே, $n((A \cup C) \times B) = n(A \cup C) \times n(B) = 6 \times 2=12$ ஆகும்.
Q3
\(A = \{1, 2\}\), \(B = \{1, 2, 3, 4\}\), \(C = \{5, 6\}\) மற்றும் \(D = \{5, 6, 7, 8\}\) எனில், கீழ்வருவனவற்றில் எது சரியானது?
- A. \((A \times C) \subset (B \times D)\)சரி
- B. \((B \times D) \subset (A \times C)\)
- C. \((A \times B) \subset (A \times D)\)
- D. \((D \times A) \subset (B \times A)\)
விளக்கம். இங்கு \(A \subset B\) மற்றும் \(C \subset D\) ஆகும்.
எனவே, அவற்றின் கார்டீசியன் பெருக்கலும் உட்கணமாக அமையும்:
\((A \times C) \subset (B \times D)\) என்பது சரியானது.
Q4
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) -லிருந்து, \(B\) என்ற கணத்திற்கு \(1024\) உறவுகள் உள்ளது எனில், \(B\)-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
விளக்கம். \(A\)-லிருந்து \(B\)-க்கான உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)}\) ஆகும்.
இங்கு, \(2^{n(A) \times n(B)} = 1024 = 2^{10} \implies n(A) \times n(B) = 10\).
\(n(A) = 5\) என்பதால், \(5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = 2\) ஆகும்.
Q5
\(R = \{(x, x^2) \mid x\) ஆனது \(13\)-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்\(\}\) என்ற உறவின் வீச்சகமானது
- A. \(\{2, 3, 5, 7\}\)
- B. \(\{2, 3, 5, 7, 11\}\)
- C. \(\{4, 9, 25, 49, 121\}\)சரி
- D. \(\{1, 4, 9, 25, 49, 121\}\)
விளக்கம். \(13\)-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள் \(x = 2, 3, 5, 7, 11\) ஆகும்.
உறவின் வீச்சகமானது \(x^2\) மதிப்புகளின் கணம் ஆகும்:
வீச்சகம் = \(\{2^2, 3^2, 5^2, 7^2, 11^2\} = \{4, 9, 25, 49, 121\}\) ஆகும்.
Q6
\((a + 2, 4)\) மற்றும் \((5, 2a + b)\) ஆகிய வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில், \((a, b)\) என்பது
- A. \((2, -2)\)
- B. \((5, 1)\)
- C. \((2, 3)\)
- D. \((3, -2)\)சரி
விளக்கம். வரிசைச் சோடிகள் சமம் என்பதால், ஒத்த உறுப்புகளைச் சமப்படுத்த வேண்டும்:
\(a + 2 = 5 \implies a = 3\).
\(2a + b = 4 \implies 2(3) + b = 4 \implies 6 + b = 4 \implies b = -2\).
எனவே, \((a, b) = (3, -2)\) ஆகும்.
Q7
\(n(A) = m\) மற்றும் \(n(B) = n\) என்க. \(A\)-லிருந்து \(B\)-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்றுக் கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
- A. \(m^n\)
- B. \(n^m\)
- C. \(2^{mn} - 1\)சரி
- D. \(2^{mn}\)
விளக்கம். \(A\)-லிருந்து \(B\)-க்கான மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}\) ஆகும்.
வெற்று உறவைக் கழித்தால், வெற்றுக் கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை \(2^{mn} - 1\) ஆகும்.
Q8
\(\{(a, 8), (6, b)\}\) ஆனது ஒரு சமனிச் சார்பு எனில், \(a\) மற்றும் \(b\) மதிப்புகளாவன முறையே
- A. \((8, 6)\)சரி
- B. \((8, 8)\)
- C. \((6, 8)\)
- D. \((6, 6)\)
விளக்கம். ஒரு சமனிச் சார்புக்கு, ஒவ்வொரு உறுப்பின் நிழல் உருவும் அதே உறுப்பாக இருக்க வேண்டும் (\(f(x) = x\)).
எனவே, \((a, 8) \implies a = 8\) மற்றும் \((6, b) \implies b = 6\) ஆகும்.
எனவே, \(a, b\) மதிப்புகள் முறையே \((8, 6)\) ஆகும்.
Q9
\(A = \{1, 2, 3, 4\}\) மற்றும் \(B = \{4, 8, 9, 10\}\) என்க. சார்பு \(f: A \to B\) ஆனது \(f = \{(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)\}\) எனில், \(f\) என்பது
- A. பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்பு
- B. சமனிச் சார்பு
- C. ஒன்றுக்கொன்றான சார்புசரி
- D. உட்சார்பு
விளக்கம். சார்பு \(f\)-ல், \(A\)-யின் வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு \(B\)-ல் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன.
எனவே, \(f\) ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு (one-to-one function) ஆகும்.
Q10
\(f(x) = 2x^2\) மற்றும் \(g(x) = \frac{1}{3x}\) எனில், \(f \circ g\) ஆனது
- A. \(\frac{3}{2x^2}\)
- B. \(\frac{2}{3x^2}\)
- C. \(\frac{2}{9x^2}\)சரி
- D. \(\frac{1}{6x^2}\)
விளக்கம். \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right)\) ஆகும்.
\(f(x) = 2x^2\) என்பதால், \(f\left(\frac{1}{3x}\right) = 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right) = \frac{2}{9x^2}\) ஆகும்.
Q11
\(f: A \to B\) ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் \(n(B) = 7\) எனில், \(n(A)\) ஆனது
விளக்கம். சார்பு \(f\) இருபுறச் சார்பு (bijection) எனில், அது ஒன்றுக்கொன்றான மற்றும் மேல் சார்பாக இருக்கும்.
இருபுறச் சார்புகளுக்கு, மதிப்பகம் மற்றும் துணை மதிப்பகத்தின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும்.
எனவே, \(n(A) = n(B) = 7\) ஆகும்.
Q12
\(f\) மற்றும் \(g\) என்ற இரண்டு சார்புகளும் \(f = \{(0, 1), (2, 0), (3, -4), (4, 2), (5, 7)\}\) மற்றும் \(g = \{(0, 2), (1, 0), (2, 4), (-4, 2), (7, 0)\}\) என வரையறுக்கப்பட்டால், \(f \circ g\)-ன் வீச்சகமானது
- A. \(\{0, 2, 3, 4, 5\}\)
- B. \(\{-4, 1, 0, 2, 7\}\)
- C. \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)
- D. \(\{0, 1, 2\}\)சரி
விளக்கம். \(f \circ g\) இன் வீச்சகம் காண:
\((f \circ g)(0) = f(g(0)) = f(2) = 0\)
\((f \circ g)(1)=f(g(1)) = f(0) = 1\)
\((f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 2\)
\((f \circ g)(-4) = f(g(-4))=f(2)=0\)
\((f \circ g)(7)=f(g(7))=f(0)=1\)
இதன் வெளியீடுகளின் கணம் வீச்சகமாகும்: \(\{0,1,2\}\)
Q13
\(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\) எனில்,
- A. \(f(xy) = f(x) \cdot f(y)\)
- B. \(f(xy) \ge f(x) \cdot f(y)\)
- C. \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\)சரி
- D. இவற்றில் ஒன்றுமில்லை
விளக்கம். \(f(xy)=\sqrt{1 + x^2y^2}\) மற்றும் \(f(x) \cdot f(y)=\sqrt{1 + x^2} \cdot \sqrt{1 + y^2} = \sqrt{1 + x^2+y^2+x^2y^2}\) ஆகும்.
\(x^2 \ge 0, y^2 \ge 0\) என்பதால், \(1 + x^2y^2 \le 1 + x^2 + y^2 + x^2y^2\) என்பது உண்மை.
எனவே \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\)
Q14
\(g = \{(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)\}\) என்ற சார்பானது \(g(x) = \alpha x + \beta\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால், \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\) வின் மதிப்பானது
- A. (-1, 2)
- B. (2, -1)சரி
- C. (-1, -2)
- D. (1, 2)
விளக்கம். \(g(x) = \alpha x + \beta\)
\(g(1) = 1 \implies \alpha + \beta = 1\)
\(g(2) = 3 \implies 2\alpha + \beta = 3\)
இவ்விரு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க, \(\alpha = 2\) மற்றும் \(\beta = -1\) எனக் கிடைக்கும்.
எனவே, \((\alpha, \beta) = (2, -1)\) ஆகும்.
Q15
\(f(x) = (x + 1)^3 - (x - 1)^3\) குறிப்பிடும் சார்பானது
- A. நேரிய சார்பு
- B. ஒரு கனச் சார்பு
- C. தலைகீழ்ச் சார்பு
- D. இருபடிச் சார்புசரி
விளக்கம். \(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
அடைப்புக்குறிகளை நீக்கிச் சுருக்க:
\(f(x) = 6x^2 + 2\)
இச்சார்பின் அதிகபட்சப் படி 2 என்பதால், இது ஒரு இருபடிச் சார்பு (quadratic function) ஆகும்.
