அணிகள் மற்றும் அணிக்கோவைகளின் பயன்பாடுகள்: புத்தகப் பயிற்சி ஒரு மதிப்பெண் ஆன்லைன் தேர்வு (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம்.

எந்த \( n \times n \) வரிசை சதுர அணிக்கும் \( \lvert \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) \rvert = \lvert A \rvert^{(n-1)^{2}} \) என்பது அறியப்பட்ட முடிவு. கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இடப்புறம் \( \lvert A \rvert^{9} \) ஆக உள்ளதால் அடுக்குகளை சமப்படுத்த,

\[ (n-1)^{2} = 9 \;\Rightarrow\; n-1 = 3 \;\Rightarrow\; n = 4. \]

எனவே அணியின் வரிசை \( 4 \). சரியான விடை: தேர்வு 2.

விளக்கம்.

\( B = A^{-1} A^{T} \) என எடுத்துக்கொள்க. முதலில் இடமாற்றியைக் காண்போம்:

\[ B^{T} = (A^{-1} A^{T})^{T} = (A^{T})^{T}(A^{-1})^{T} = A\,(A^{T})^{-1}. \]

இப்போது

\[ B B^{T} = A^{-1} A^{T} \cdot A (A^{T})^{-1}. \]

கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை \( A^{T} A = A A^{T} \) -ஐப் பயன்படுத்தி நடுவில் உள்ள \( A^{T} A \) -ஐ \( A A^{T} \) ஆக மாற்ற,

\[ B B^{T} = A^{-1} (A A^{T})(A^{T})^{-1} = (A^{-1} A)(A^{T}(A^{T})^{-1}) = I \cdot I = I_{3}. \]

எனவே \( B B^{T} = I_{3} \). சரியான விடை: தேர்வு 3.

விளக்கம்.

முதலில் \( \lvert A \rvert \) காண்போம்:

\[ \lvert A \rvert = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1. \]

\( 2 \times 2 \) அணிக்கு \( B = \operatorname{adj} A \) எனில் \( \lvert B \rvert = \lvert A \rvert^{\,n-1} = \lvert A \rvert^{1} = 1 \).

மீண்டும் \( \lvert \operatorname{adj} B \rvert = \lvert B \rvert^{\,n-1} = 1^{1} = 1 \).

\( C = 3A \) என்பது \( 2 \times 2 \) அணியாதலால் \( \lvert C \rvert = 3^{2}\lvert A \rvert = 9 \times 1 = 9 \).

\[ \frac{\lvert \operatorname{adj} B \rvert}{\lvert C \rvert} = \frac{1}{9}. \]

சரியான விடை: தேர்வு 2.

விளக்கம்.

\( P = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \) என எடுத்துக்கொண்டால் \( A P = 6 I \), எனவே \( A = 6 P^{-1} \).

\( \lvert P \rvert = (1)(4) - (-2)(1) = 4 + 2 = 6 \), மற்றும்

\[ P^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

எனவே

\[ A = 6 \cdot \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. \]

சரியான விடை: தேர்வு 3.

விளக்கம். \(9I_2 - A = \begin{pmatrix}2 & -3\\ -4 & 7\end{pmatrix}\). மேலும் \(|A| = 14-12 = 2\), \(\operatorname{adj}A = \begin{pmatrix}2 & -3\\ -4 & 7\end{pmatrix}\). எனவே \(A^{-1} = \tfrac12\begin{pmatrix}2 & -3\\ -4 & 7\end{pmatrix}\). ஆகவே \(2A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -3\\ -4 & 7\end{pmatrix} = 9I_2 - A\).

விளக்கம். \(|A| = 10\), \(|B| = (1)(0)-(4)(2) = -8\). எனவே \(|AB| = |A||B| = -80\). வரிசை \(2\) உடைய அணிக்கு \(|\operatorname{adj}(AB)| = |AB|^{1} = -80\).

விளக்கம். \(|\operatorname{adj}A| = |A|^{\,n-1} = 4^{2} = 16\). எனவே \(\det P = 16\). மூன்றாவது நிரலின் வழியே விரிவுபடுத்த (அங்கு பூச்சியமற்ற உறுப்பு \(-2\) மட்டுமே): \(\det P = -2\begin{vmatrix}1 & x\\ 1 & 3\end{vmatrix} = -2(3-x) = 2x-6\). \(2x-6 = 16\) என்பதிலிருந்து \(x = 11\).

விளக்கம். முதல் நிரையின் வழியே விரிவுபடுத்த \(\det A = 2\). \(A^{-1} = \tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}A\) மற்றும் \(\operatorname{adj}A\) என்பது இணைக்காரணி அணியின் நிரை-நிரல் மாற்று அணி என்பதால் \(a_{23} = \dfrac{C_{32}}{\det A}\). இங்கு \(C_{32} = (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 0\end{vmatrix} = -(0+2) = -2\). எனவே \(a_{23} = \tfrac{-2}{2} = -1\).

விளக்கம். நேர்மாறு அணியைப் போலவே சேர்ப்பு அணியும் பெருக்கலின் வரிசையைத் தலைகீழாக்குகிறது: \(\operatorname{adj}(AB) = (\operatorname{adj}B)(\operatorname{adj}A)\); \((\operatorname{adj}A)(\operatorname{adj}B)\) அல்ல. மற்ற மூன்றும் அடிப்படை முற்றொருமைகள். எனவே (2) உண்மையல்ல.

விளக்கம். \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\Rightarrow B^{-1} = (AB)^{-1}A\). \(\det A^{-1} = 1\) என்பதால் \(A = (A^{-1})^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix}\). எனவே \(B^{-1} = \begin{pmatrix}12 & -17\\ -19 & 27\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5\\ -3 & 8\end{pmatrix}\).

விளக்கம். \(A^{T}A^{-1}\) சமச்சீர் எனில் \(A^{T}A^{-1} = (A^{T}A^{-1})^{T} = (A^{-1})^{T}A = (A^{T})^{-1}A\). இடப்பக்கத்தில் \(A^{T}\) ஆல் பெருக்க \((A^{T})^{2}A^{-1} = A\); பின்னர் வலப்பக்கத்தில் \(A\) ஆல் பெருக்க \((A^{T})^{2} = A^{2}\).

விளக்கம். நிரை-நிரல் மாற்றும் நேர்மாறும் இடம் மாறக்கூடியவை: \((A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\). \(\begin{pmatrix}5 & 3\\ -2 & -1\end{pmatrix}\) -ன் நிரை-நிரல் மாற்று அணி \(\begin{pmatrix}5 & -2\\ 3 & -1\end{pmatrix}\).

விளக்கம். \(A^{T} = A^{-1}\) என்பதால் \(A\) ஒரு செங்குத்து அணி; எனவே அதன் நிரைகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான அலகு வெக்டர்கள். இரு நிரைகளும் செங்குத்தாக இருக்க \(\tfrac35\,x + \tfrac45\cdot\tfrac35 = 0\), அதாவது \(\tfrac35x = -\tfrac{12}{25}\), எனவே \(x = -\tfrac45\). (இம்மதிப்பில் இரண்டாம் நிரையும் அலகு வெக்டராக அமைகிறது.)

விளக்கம். \(AB = I\Rightarrow B = A^{-1}\). \(t = \tan\tfrac{\theta}{2}\) என்க. \(|A| = 1+t^{2} = \sec^{2}\tfrac{\theta}{2}\) மற்றும் \(\operatorname{adj}A = \begin{pmatrix}1 & -t\\ t & 1\end{pmatrix} = A^{T}\). எனவே \(B = \tfrac{1}{|A|}\operatorname{adj}A = \cos^{2}\tfrac{\theta}{2}\;A^{T}\).

விளக்கம். எந்த சதுர அணிக்கும் \(A(\operatorname{adj}A) = |A|\,I\). இங்கு \(|A| = \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1\). எனவே \(A(\operatorname{adj}A) = 1\cdot I\), அதாவது \(k = 1\).

விளக்கம். \(\lambda A^{-1} = A\) -ன் இருபுறமும் \(A\) ஆல் பெருக்க \(\lambda I = A^{2}\). இப்போது \(A^{2} = \begin{pmatrix}2 & 3\\ 5 & -2\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}19 & 0\\ 0 & 19\end{pmatrix} = 19I\). எனவே \(\lambda = 19\).

விளக்கம். \(\operatorname{adj}(AB) = (\operatorname{adj}B)(\operatorname{adj}A)\). எனவே \(\begin{pmatrix}1 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 3\\ 4 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2-8 & 3+2\\ -6+4 & -9-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 & 5\\ -2 & -10\end{pmatrix}\).

விளக்கம். நிரை \(2 = 2\times\) நிரை 1, நிரை \(3 = -1\times\) நிரை 1. எனவே நிரை செயல்பாடுகளுக்குப் பின் ஒரே ஒரு பூச்சியமற்ற நிரை மட்டுமே மீதமிருக்கும். நிரை-ஏறுபடி வடிவில் உள்ள பூச்சியமற்ற நிரைகளின் எண்ணிக்கையே அணித்தரம்; அது \(1\).

விளக்கம். இயல் மடக்கை எடுக்க \(a\ln x + b\ln y = m\), \(c\ln x + d\ln y = n\) என்ற நேரியச் சமன்பாட்டுத் தொகுப்பு கிடைக்கிறது. கிரேமரின் விதிப்படி \(\ln x = \dfrac{\Delta_1}{\Delta_3}\), \(\ln y = \dfrac{\Delta_2}{\Delta_3}\). எனவே \(x = e^{\Delta_1/\Delta_3}\), \(y = e^{\Delta_2/\Delta_3}\).

விளக்கம். (i), (ii), (iv) ஆகியவை அணிகளின் அடிப்படைப் பண்புகள்; அவை சரியானவை. (iii) தவறு: சரியான விதி \(\operatorname{adj}(\lambda A) = \lambda^{\,n-1}\operatorname{adj}A\); \(\lambda^{n}\) அல்ல. எனவே சரியானவை (i), (ii) மற்றும் (iv).

விளக்கம். கெழு அணியின் தரமும் விரிவுபடுத்தப்பட்ட அணியின் தரமும் சமமாக இருந்தால் தீர்வு உண்டு; அதாவது தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது. தீர்வு ஒரே ஒன்றா அல்லது எண்ணற்றவையா என்பது, இப்பொதுத் தரத்தை மாறிகளின் எண்ணிக்கையுடன் ஒப்பிடுவதைப் பொறுத்தது. எனவே பொதுவாக உறுதியாகக் கூறக்கூடியது தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது என்பது மட்டுமே.

விளக்கம். சமபடித்தான தொகுப்புக்கு வெளிப்படையற்றத் தீர்வு இருக்க வேண்டுமெனில் கெழுக்களின் அணிக்கோவை பூச்சியமாக வேண்டும். \(\begin{vmatrix}1 & \sin\theta & -\cos\theta\\ \cos\theta & -1 & 1\\ \sin\theta & 1 & -1\end{vmatrix}\) -ஐ விரிவுபடுத்த \((\sin\theta+\cos\theta)(\sin\theta-\cos\theta) = 0\). \(\sin\theta = \cos\theta\) (அதாவது \(\tan\theta = 1\)) எனக் கொள்ள \(\theta = \tfrac{\pi}{4}\); இதுவே விடைக்குறிப்பில் உள்ள மதிப்பு. குறிப்பு: \(\tan\theta = -1\) என்பதிலிருந்து கிடைக்கும் \(\theta = \tfrac{3\pi}{4}\) என்பதும் \(0 \le \theta \le \pi\) இடைவெளியில் இந்த நிபந்தனையை நிறைவு செய்கிறது; பாடநூல் விடைக்குறிப்பு \(\tfrac{\pi}{4}\) எனத் தருகிறது.

விளக்கம். இங்கு கடைசி நிரை \([\,0\ \ 0\ \ \lambda-7\ |\ \mu+5\,]\) முக்கியமானது. எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருக்க இந்நிரை முழுவதும் பூச்சியமாக வேண்டும்; அதாவது \(\lambda-7 = 0\) மற்றும் \(\mu+5 = 0\). எனவே \(\lambda = 7,\ \mu = -5\); அப்போது \(\rho(A) = \rho([A|B]) < 3\) (மாறிகளின் எண்ணிக்கை).

விளக்கம். \(B = A^{-1}\Rightarrow 4B = 4A^{-1} = \tfrac{4}{|A|}\operatorname{adj}A\). \(|A| = 4\) என்பதால் \(4B = \operatorname{adj}A\). \(\operatorname{adj}A\) -ஐ (இணைக்காரணி அணியின் நிரை-நிரல் மாற்று அணி) கணக்கிட \(\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\ 1 & 3 & 1\\ -1 & 1 & 3\end{pmatrix}\) கிடைக்கிறது. எனவே \((2,3)\) உறுப்பு \(x = 1\).

விளக்கம். வரிசை \(n\) உடைய அணிக்கு \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = |A|^{\,n-2}A\). இங்கு \(n = 3\), எனவே \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = |A|\,A\). \(|A| = 3(-3+4)+3(2)+4(-2) = 3+6-8 = 1\) என்பதால் \(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}A) = 1\cdot A = A\).