சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்: புத்தகப் பயிற்சி ஒரு மதிப்பெண் ஆன்லைன் தேர்வு (12ஆம் வகுப்பு கணிதவியல்)

விளக்கம். வரிசை என்பது மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவின் வரிசை; இங்கு அது \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\), எனவே வரிசை \(=2\). படி காண, சமன்பாட்டை வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் எழுத பின்ன அடுக்குகளை நீக்க வேண்டும். \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^{1/3}\) என்பதை விலக்கி \(\left(\dfrac{d^2y}{dx^2} + x^{1/4}\right)^3 = -\dfrac{dy}{dx}\) எனப் படுத்தினால் மிக உயர் வரிசை வகைக்கெழுவான \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)-ன் அடுக்கு \(3\) ஆகும். (\(x^{1/4}\) என்பது சார்பற்ற மாறி மட்டுமே; அது படியைப் பாதிக்காது.) எனவே வரிசை \(=2\), படி \(=3\).

விளக்கம். \(y = A\cos(x+B)\) என்பதில் இரண்டு தன்னிச்சை மாறிலிகள் \(A, B\) உள்ளன, எனவே வகைக்கெழுச் சமன்பாடு இரண்டாம் வரிசை ஆகும். ஒருமுறை வகையிட \(\dfrac{dy}{dx} = -A\sin(x+B)\). மீண்டும் வகையிட \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = -A\cos(x+B) = -y\). எனவே \(\dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0\).

விளக்கம். சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க: \(\big(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}\big)\,dy = \big(\sqrt{\cos x} - \sqrt{\sin x}\big)\,dx\), அதாவது \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{\cos x} - \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}\). இங்கு மிக உயர் வகைக்கெழு \(\dfrac{dy}{dx}\) (வரிசை \(=1\)) மற்றும் அது முதல் அடுக்கில் உள்ளது (படி \(=1\)). எனவே வரிசை \(=1\), படி \(=1\).

விளக்கம். பொது வட்டம் \((x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2\). இங்கு \(h\), \(k\), \(a\) மூன்றும் தன்னிச்சை மாறிலிகள். ஒவ்வொரு முறை வகையிடும்போதும் ஒரு மாறிலி நீங்குவதால், அனைத்தையும் நீக்க மூன்று முறை வகையிட வேண்டும்; எனவே வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வரிசை \(3\). (\(h, k\) -ஐ மட்டும் எண்ணி \(2\) எனக் கூறுவது பொதுவான பிழை; ஆரம் \(a\) -வும் தன்னிச்சை மாறிலியே.)

விளக்கம்.

இரண்டு மாறத்தக்க மாறிலிகள் இருப்பதால் இருமுறை வகையிட வேண்டும். \( y = Ae^{x} + Be^{-x} \) இலிருந்து:

\[ \dfrac{dy}{dx} = Ae^{x} - Be^{-x}, \qquad \dfrac{d^2y}{dx^2} = Ae^{x} + Be^{-x}. \]

இரண்டாம் வகைக்கெழு மீண்டும் மூலக் கோவையையே தருகிறது; எனவே \( \dfrac{d^2y}{dx^2} = y \), அதாவது \( \dfrac{d^2y}{dx^2} - y = 0 \). (\( y = A\cos x + B\sin x \) எனில் \( y'' + y = 0 \) கிடைக்கும்; அடுக்குக்குறிச் சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழு அவையே என்பதால் இங்கு குறி மாறுகிறது.)

விளக்கம்.

இது மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடிய வகை. \(y\)-ஐ இடப்புறமும் \(x\)-ஐ வலப்புறமும் சேர்க்க:

\[ \dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{x}. \]

தொகையிட, \( \ln|y| = \ln|x| + \ln k \); வசதிக்காக மாறிலியை \( \ln k \) என எழுதுகிறோம். மடக்கைகளை இணைக்க \( \ln|y| = \ln|kx| \), எனவே \( y = kx \). தீர்வு வளைவரைகள் ஆதி வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடுகள் ஆகும்.

விளக்கம்.

மாற்றி அமைத்து மாறிகளைப் பிரிக்க:

\[ 2x\,\dfrac{dy}{dx} = y + 3 \;\Longrightarrow\; \dfrac{2\,dy}{y+3} = \dfrac{dx}{x}. \]

தொகையிட, \( 2\ln|y+3| = \ln|x| + \ln c \), எனவே \( \ln (y+3)^2 = \ln(cx) \), ஆகவே \( (y+3)^2 = cx \). \( Y = y+3 \) என எழுத, இது \( Y^2 = cx \) — பரவளையத்தின் திட்ட வடிவம். எனவே தீர்வு வளைவரைகள் பரவளையங்கள் ஆகும்.

விளக்கம்.

வலப்புறம் பூச்சியம் என்பதால் இது மாறிகளைப் பிரிக்கக்கூடியதும், சமபடித்தான நேரியல் சமன்பாடும் ஆகும். பிரிக்க,

\[ \dfrac{dy}{y} = -p(x)\,dx. \]

தொகையிட \( \ln|y| = -\displaystyle\int p(x)\,dx + \ln c \), எனவே \( y = c\,e^{-\int p(x)\,dx} \). மாற்றாக, தொகையீட்டுக் காரணி \( e^{\int p\,dx} \); \( Q = 0 \) என்பதால் நேரியல் தீர்வு \( y\,e^{\int p\,dx} = c \) அதே முடிவைத் தருகிறது.

விளக்கம்.

முதலில் சமன்பாட்டை \( \dfrac{dy}{dx} + Py = Q \) என்ற நேரியல் திட்ட வடிவில் எழுதுவோம். வலப்புறத்தைப் பிரிக்க,

\[ \dfrac{dy}{dx} + y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{y}{x} \;\Longrightarrow\; \dfrac{dy}{dx} + \left(1 - \dfrac{1}{x}\right)y = \dfrac{1}{x}. \]

எனவே \( P = 1 - \dfrac{1}{x} \); தொகையீட்டுக் காரணி

\[ \text{I.F.} = e^{\int\left(1 - \frac{1}{x}\right)dx} = e^{\,x - \ln x} = e^{x}\cdot e^{-\ln x} = \dfrac{e^{x}}{x}. \]

\(P\)-ஐக் காணும் முன் \( \dfrac{y}{x} \) உறுப்பை இடப்புறம் கொண்டு வர மறப்பதே இங்குள்ள பொதுவான பிழை.

விளக்கம்.

வரையறைப்படி \( \dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x) \)-இன் தொகையீட்டுக் காரணி \( e^{\int P\,dx} \). இது \(x\)-க்குச் சமம் எனத் தரப்பட்டுள்ளது:

\[ e^{\int P\,dx} = x \;\Longrightarrow\; \int P\,dx = \ln x. \]

இருபுறமும் \(x\)-ஐப் பொறுத்து வகையிட \(P\) கிடைக்கும்: \( P = \dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x} \). எனவே \( P(x) = \dfrac{1}{x} \).

விளக்கம்.

வலப்புறத்தை ஒரு அடுக்குத் தொடராகக் காண்போம். \( 1 + t + \dfrac{t^{2}}{2!} + \dfrac{t^{3}}{3!} + \cdots \) என்ற அமைப்பு, \( t = \dfrac{dy}{dx} \) எனும்போது \( e^{t} \)-இன் மெக்லாரின் விரிவே ஆகும். எனவே சமன்பாடு

\[ y = e^{\,dy/dx} \;\Longrightarrow\; \dfrac{dy}{dx} = \ln y. \]

இதில் முதல் வகைக்கெழு மட்டுமே, அதுவும் முதல் அடுக்கில் உள்ளது; எனவே வரிசையும் படியும் \(1\). முடிவிலாத் தொடர் ஒரு மாறுவேடம் மட்டுமே; கூட்டிய பின் சமன்பாடு முதல் வரிசை, முதல் படி கொண்டது.

விளக்கம்.

சமன்பாட்டில் உள்ள உயர் வகைக்கெழு \( \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} \); எனவே வரிசை \( p = 2 \). சமன்பாடு ஏற்கனவே வகைக்கெழுக்களில் பல்லுறுப்புக்கோவை வடிவில் உள்ளது; அந்த உயர் வகைக்கெழு முதல் அடுக்கில் உள்ளதால் படி \( q = 1 \). ஒப்பிட, \( p = 2 > 1 = q \), அதாவது \( p > q \). \( y\,\dfrac{dy}{dx} \) என்ற பெருக்கமும் \( \cos x \) உறுப்பும் வரிசையையோ படியையோ பாதிப்பதில்லை; ஏனெனில் வரிசையும் படியும் உயர் வரிசை வகைக்கெழுவை மட்டுமே கருத்தில் கொள்கின்றன.

விளக்கம்.

வகைக்கெழுவைத் தனியாகப் பிரித்து நேரடியாகத் தொகையிடுவோம்:

\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \;\Longrightarrow\; dy = -\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}. \]

\( \displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \sin^{-1}x \) என்பதால், தொகையிட \( y = -\sin^{-1}x + c \), அதாவது \( y + \sin^{-1}x = c \).

விளக்கம்.

மாறிகளைப் பிரிக்க:

\[ \dfrac{dy}{y} = 2x\,dx. \]

தொகையிட, \( \ln|y| = x^{2} + c_{1} \). அடுக்குக்குறி எடுக்க, \( y = e^{x^{2} + c_{1}} = e^{c_{1}}\,e^{x^{2}} \). மாறிலி \( e^{c_{1}} = c \) எனப் பெயரிட \( y = c\,e^{x^{2}} \).

விளக்கம். முதலில் மடக்கையை நீக்க: \( \dfrac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^{x}\,e^{y} \). மாறிகளைப் பிரிக்க \( e^{-y}\,dy = e^{x}\,dx \). தொகையிட \( -e^{-y} = e^{x} + c_{1} \); \(-1\) ஆல் பெருக்கி மாறிலியை மறுபெயரிட \( e^{x} + e^{-y} = c \).

விளக்கம்.

\( 2^{\,y-x} = \dfrac{2^{y}}{2^{x}} \) என எழுதி மாறிகளைப் பிரிக்க:

\[ \dfrac{dy}{2^{y}} = \dfrac{dx}{2^{x}} \;\Longrightarrow\; 2^{-y}\,dy = 2^{-x}\,dx. \]

\( \displaystyle\int a^{u}\,du = \dfrac{a^{u}}{\ln a} \) என்பதைப் பயன்படுத்தித் தொகையிட \( \dfrac{2^{-y}}{-\ln 2} = \dfrac{2^{-x}}{-\ln 2} + c_{1} \). \( -\ln 2 \) ஆல் பெருக்கி மாறிலியைச் சீரமைக்க, \( 2^{-x} - 2^{-y} = c \), அதாவது \( \dfrac{1}{2^{x}} - \dfrac{1}{2^{y}} = c \).

விளக்கம்.

வலப்புறம் \( \dfrac{y}{x} \)-ஐ மட்டுமே சார்ந்துள்ளதால் இது சமபடித்தான சமன்பாடு. \( y = vx \) எனப் பதிலிட, \( \dfrac{dy}{dx} = v + x\dfrac{dv}{dx} \). சமன்பாடு

\[ v + x\dfrac{dv}{dx} = v + \dfrac{\varphi(v)}{\varphi'(v)} \;\Longrightarrow\; \dfrac{\varphi'(v)}{\varphi(v)}\,dv = \dfrac{dx}{x} \]

என ஆகிறது. இடப்புறம் \( \dfrac{d}{dv}\ln\varphi(v) \) என்பதால், தொகையிட \( \ln\varphi(v) = \ln x + \ln k \), எனவே \( \varphi(v) = kx \). \( v = \dfrac{y}{x} \) எனத் திரும்பப் பிரதியிட, தீர்வு \( \varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = kx \).

விளக்கம்.

\( \dfrac{dy}{dx} + Py = Q \)-இன் தொகையீட்டுக் காரணி \( e^{\int P\,dx} \). இதை \( \sin x \)-க்குச் சமப்படுத்த:

\[ e^{\int P\,dx} = \sin x \;\Longrightarrow\; \int P\,dx = \ln(\sin x). \]

வகையிட்டு \(P\)-ஐப் பெற: \( P = \dfrac{d}{dx}\ln(\sin x) = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x \).

விளக்கம்.

முக்கியக் கருத்து: வரிசை \(m\) கொண்ட வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வில் சரியாக \(m\) சார்பற்ற மாறத்தக்க மாறிலிகள் இருக்கும். இதன்படி, வரிசை \(n\) கொண்ட சமன்பாட்டிற்கு \(n\) மாறிலிகளும், வரிசை \(n+1\) கொண்டதற்கு \(n+1\) மாறிலிகளும் இருக்கும். எனவே விடை \( n,\ n+1 \).

விளக்கம்.

மூன்றாம் வரிசைச் சமன்பாட்டின் பொதுத் தீர்வில் மூன்று மாறத்தக்க மாறிலிகள் இருக்கும். தொடக்க அல்லது எல்லை நிபந்தனைகள் மூலம் அம்மாறிலிகளுக்கு மதிப்புகள் நிர்ணயிக்கப்படுவதால் குறிப்பிட்டத் தீர்வு கிடைக்கிறது; எனவே அதில் எந்த மாறிலியும் எஞ்சுவதில்லை. ஆகவே வரிசை எதுவாயினும் குறிப்பிட்டத் தீர்வில் உள்ள மாறத்தக்க மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை \(0\).

விளக்கம்.

வலப்புறத்தைப் பிரித்துச் சமன்பாட்டை நேரியல் வடிவில் எழுதுவோம்:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(x+1) + y}{x+1} = 1 + \dfrac{y}{x+1} \;\Longrightarrow\; \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{x+1}\,y = 1. \]

எனவே \( P = -\dfrac{1}{x+1} \); தொகையீட்டுக் காரணி

\[ \text{I.F.} = e^{\int -\frac{1}{x+1}\,dx} = e^{-\ln(x+1)} = \dfrac{1}{x+1}. \]

விளக்கம்.

"பெருக்க வீதம் மக்கள் தொகைக்கு விகிதமாக உள்ளது" என்பது \( \dfrac{dP}{dt} = kP \) (\( k > 0 \)) எனப் பொருள்படும். மாறிகளைப் பிரிக்க \( \dfrac{dP}{P} = k\,dt \); தொகையிட \( \ln P = kt + c_{1} \). அடுக்குக்குறி எடுக்க \( P = e^{kt + c_{1}} = c\,e^{kt} \). இதுவே அடுக்குக்குறி வளர்ச்சி விதி.

விளக்கம்.

ஆவியாதல் பொருளின் அளவைக் குறைக்கிறது; எனவே அளவு, மீதமிருப்பதற்கு விகிதமான வீதத்தில் குறைகிறது: \( \dfrac{dP}{dt} = -kP \) (\( k > 0 \)). மாறிகளைப் பிரித்துத் தொகையிட \( \ln P = -kt + c_{1} \), எனவே \( P = c\,e^{-kt} \). எதிர்க்குறி அடுக்கு, அடுக்குக்குறிச் சிதைவைக் குறிக்கிறது; இதுவே வளர்ச்சியிலிருந்து இதை வேறுபடுத்துகிறது.

விளக்கம்.

குறுக்குப் பெருக்கம் செய்து தொகையிட:

\[ (2y+f)\,dy = (ax+3)\,dx \;\Longrightarrow\; y^{2} + fy = \dfrac{a}{2}x^{2} + 3x + c. \]

எல்லா உறுப்புகளையும் ஒருபுறம் கொண்டு வர \( \dfrac{a}{2}x^{2} - y^{2} + 3x - fy + c = 0 \). இரண்டாம் படி வளைவரை ஒரு வட்டமாக இருக்க \( x^{2} \), \( y^{2} \) ஆகியவற்றின் கெழுக்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும். இங்கு \( y^{2} \)-இன் கெழு \(-1\); எனவே \( \dfrac{a}{2} = -1 \), அதாவது \( a = -2 \).

விளக்கம். சாய்வு \(\dfrac{dy}{dx} = 3x^2\). தொகையிட \(y = x^3 + c\). வளைவரை \((-1, 1)\) வழியாகச் செல்வதால் \(1 = (-1)^3 + c = -1 + c \Rightarrow c = 2\). எனவே \(y = x^3 + 2\).