2020–2026 பொதுத் தேர்வுகளின் 140 ஒரு மதிப்பெண் வினாக்களிலிருந்து கணக்கிடப்பட்டது. ஒவ்வொரு பாடத்திலிருந்தும் எத்தனை வினாக்கள் வந்தன என்பதை அட்டவணை காட்டுகிறது; அதன் கீழே ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை கேட்கப்பட்ட வினாக்கள் விடையுடன் உள்ளன.
\(\int_0^{\frac{2}{3}}\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}\) இன் மதிப்பு :
- அ. \(\frac{\pi}{4}\)
- ஆ. \(\frac{\pi}{6}\)சரி
- இ. \(\pi\)
- ஈ. \(\frac{\pi}{2}\)
விளக்கம். \(\int\frac{dx}{\sqrt{4-9x^2}}=\frac{1}{3}\sin^{-1}\frac{3x}{2}\). 0 முதல் \(\frac{2}{3}\) வரை: \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}\).
\(\rho(A)=\rho([A|B])\) எனில், \(AX=B\) என்ற நேரியச் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பானது :
- அ. ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் எண்ணற்ற தீர்வுகள் பெற்றிருக்கும்
- ஆ. ஒருங்கமைவுடையது மற்றும் ஒரே ஒரு தீர்வு பெற்றிருக்கும்
- இ. ஒருங்கமைவற்றது
- ஈ. ஒருங்கமைவுடையதுசரி
விளக்கம். ரூஷே–கபெல்லி தேற்றப்படி, தரங்கள் சமம் எனில் தொகுப்பு ஒருங்கமைவுடையது. தீர்வு ஒன்றா எண்ணற்றவையா என்பது மாறிகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்தது; அது கொடுக்கப்படவில்லை.
\(x<0\) எனில், \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\) -ன் மதிப்பு :
- அ. \(-\pi+\cot^{-1}(x)\)சரி
- ஆ. \(\tan^{-1}(x)\)
- இ. \(-\pi+\tan^{-1}x\)
- ஈ. \(\cot^{-1}(x)\)
விளக்கம். \(x<0\) எனில் \(\cot^{-1}x\in(\frac{\pi}{2},\pi)\), \(\tan^{-1}\frac{1}{x}\in(-\frac{\pi}{2},0)\); எனவே \(\tan^{-1}\frac{1}{x}=\cot^{-1}x-\pi\). சரிபார்ப்பு x = −1: \(-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}-\pi\).
\(\vec{\beta}\) மற்றும் \(\vec{\gamma}\) ஆகியவை அமைக்கும் தளத்தில் \(\vec{\alpha}\) அமைந்துள்ளது எனில்,
- அ. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=0\)சரி
- ஆ. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=1\)
- இ. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=2\)
- ஈ. \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=-1\)
விளக்கம். ஒரே தளத்தில் அமையும் மூன்று வெக்டர்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் பூச்சியம்; எனவே \([\vec{\alpha},\vec{\beta},\vec{\gamma}]=0\).
\(f(x)=x^3-3x^2,\ x\in[0,3]\) என்ற சார்பிற்கு ரோலின் தேற்றத்தை நிறைவு செய்யும் 'c' -யின் மதிப்பு :
- அ. \(\frac{3}{2}\)
- ஆ. 1
- இ. 2சரி
- ஈ. \(\sqrt{2}\)
விளக்கம். f(0) = f(3) = 0. \(f'(c)=3c^2-6c=0\) எனில் c = 0 அல்லது 2; (0, 3) -ல் உள்ள மதிப்பு c = 2.
\(f(x)=\frac{1}{12}\), \(a<x<b\) எனும் சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பினைக் குறிக்கிறது எனில், பின்வருவனவற்றுள் எது a மற்றும் b -இன் மதிப்புகளாக இராது ?
- அ. 7 மற்றும் 19
- ஆ. 0 மற்றும் 12
- இ. 16 மற்றும் 24சரி
- ஈ. 5 மற்றும் 17
விளக்கம். மொத்த நிகழ்தகவு \(\frac{b-a}{12}=1\) எனில் b − a = 12. 16 மற்றும் 24 -க்கு b − a = 8; எனவே இது நிகழ்தகவு அடர்த்தி சார்பாகாது.
கழித்தலின் கீழ் பின்வரும் கணம் அடைவு பெறவில்லை :
- அ. \(\mathbb{N}\)சரி
- ஆ. \(\mathbb{R}\)
- இ. \(\mathbb{Q}\)
- ஈ. \(\mathbb{Z}\)
விளக்கம். \(\mathbb{N}\) -ல் \(2-3=-1\notin\mathbb{N}\) எனவே கழித்தல் அடைவு பெறாது; \(\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{Z}\) -ல் அடைவு பெறும்.
0, 1 மற்றும் 2 ஆகிய மதிப்புகளில் ஒன்றை X கொள்கிறது என்க. ஏதோ ஒரு மாறிலி k -விற்கு, \(P(X=i)=k\,P(X=i-1)\), \(i=1, 2\) மற்றும் \(P(X=0)=\frac{1}{7}\) எனில் k -இன் மதிப்பு காண்க.
விளக்கம். \(P(0)=\frac{1}{7}, P(1)=\frac{k}{7}, P(2)=\frac{k^2}{7}\). நிகழ்தகவுகளின் கூடுதல் 1 என்பதால் \(1+k+k^2=7\), \((k+3)(k-2)=0\); k மிகை எண் என்பதால் k = 2.
\(A=\begin{bmatrix}2 & 3\\ 5 & -2\end{bmatrix}\) மற்றும் \(\lambda A^{-1}=A\) எனில், \(\lambda\) -ன் மதிப்பு :
- அ. 19சரி
- ஆ. 17
- இ. 21
- ஈ. 14
விளக்கம். இருபுறமும் A -ஆல் பெருக்க: \(\lambda I=A^2\). \(A^2=\begin{bmatrix}19 & 0\\ 0 & 19\end{bmatrix}=19I\), எனவே \(\lambda=19\).
\(u(x, y)=e^{x^2+y^2}\), எனில் \(\frac{\partial u}{\partial x}\) -ன் மதிப்பு :
- அ. \(x^2u\)
- ஆ. \(e^{x^2+y^2}\)
- இ. \(y^2u\)
- ஈ. \(2xu\)சரி
விளக்கம். \(\frac{\partial u}{\partial x}=e^{x^2+y^2}\cdot 2x=2xu\).
\([0, 2\pi]\) -ல் \(\sin^4x-2\sin^2x+1\) -ஐ நிறைவு செய்யும் மெய்யெண்களின் எண்ணிக்கை :
- அ. 1
- ஆ. 2சரி
- இ. \(\infty\)
- ஈ. 4
விளக்கம். வினாத்தாளில் "= 0" விடுபட்டுள்ளது; கருதப்பட்ட சமன்பாடு \(\sin^4x-2\sin^2x+1=0\). அப்போது \((\sin^2x-1)^2=0\), \(\sin x=\pm 1\), எனவே \(x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\): 2 மதிப்புகள்.
\(\sum_{n=1}^{13}(i^n+i^{n-1})\) -ன் மதிப்பு :
- அ. 1
- ஆ. \(1+i\)சரி
- இ. 0
- ஈ. i
விளக்கம். i -ன் தொடர்ச்சியான நான்கு அடுக்குகளின் கூடுதல் 0. எனவே \(\sum_{n=1}^{13}i^n=i^{13}=i\), \(\sum_{n=1}^{13}i^{n-1}=i^{12}=1\); மொத்தம் \(1+i\).
\(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}, z=2\) மற்றும் \(\frac{x-1}{1}=\frac{2y+3}{3}=\frac{z+5}{2}\) என்ற கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் :
- அ. \(\frac{\pi}{3}\)
- ஆ. \(\frac{\pi}{6}\)
- இ. \(\frac{\pi}{2}\)சரி
- ஈ. \(\frac{\pi}{4}\)
விளக்கம். திசை விகிதங்கள் \((3, -2, 0)\) மற்றும் \(\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)\). புள்ளிப் பெருக்கம் \(=3-3+0=0\), எனவே கோடுகள் செங்குத்தானவை: \(\frac{\pi}{2}\).
\(y=(x-1)^3\) என்ற வளைவரையின் வளைவு மாற்றப் புள்ளி :
- அ. \((1, 0)\)சரி
- ஆ. \((0, 0)\)
- இ. \((1, 1)\)
- ஈ. \((0, 1)\)
விளக்கம். \(y''=6(x-1)\) ஆனது \(x=1\) -ல் பூச்சியமாகி குறி மாறுகிறது; \(y(1)=0\), எனவே புள்ளி \((1, 0)\).
\(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+2\hat{j}, \hat{i}+\hat{j}+\pi\hat{k}\) என்ற வெக்டர்களை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத் திண்மத்தின் கனஅளவு :
- அ. \(\pi\)சரி
- ஆ. \(\frac{\pi}{2}\)
- இ. \(\frac{\pi}{4}\)
- ஈ. \(\frac{\pi}{3}\)
விளக்கம். கனஅளவு \(=\left|\begin{vmatrix}1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & \pi\end{vmatrix}\right|=\pi(2-1)=\pi\).
\(y^2=4x\) என்ற பரவளையத்திற்கும் அதன் செவ்வகலத்திற்கும் இடையே பரப்பானது :
- அ. \(\frac{8}{3}\)சரி
- ஆ. \(\frac{2}{3}\)
- இ. \(\frac{5}{3}\)
- ஈ. \(\frac{4}{3}\)
விளக்கம். செவ்வகலம் x = 1. பரப்பு = \(2\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx = 4\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\).
\(P(x, y)\) என்ற புள்ளி குவியங்கள் \(F_1(3, 0)\) மற்றும் \(F_2(-3, 0)\) கொண்ட கூம்பு வளைவு \(16x^2+25y^2=400\) -ன் மீதுள்ள புள்ளி எனில் \(PF_1+PF_2\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். நீள்வட்டம் \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\), எனவே a = 5. நீள்வட்டத்தின் மீதுள்ள எந்தப் புள்ளிக்கும் \(PF_1+PF_2=2a=10\).
\(f(x)=\frac{x}{x+1}\) எனில், அதன் வகையீடு :
- அ. \(\frac{1}{x+1}dx\)
- ஆ. \(\frac{-1}{(x+1)^2}dx\)
- இ. \(\frac{-1}{x+1}dx\)
- ஈ. \(\frac{1}{(x+1)^2}dx\)சரி
விளக்கம். \(f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\); எனவே \(df=\frac{1}{(x+1)^2}dx\).
\((1+i)(1+2i)(1+3i)\cdots(1+ni)=x+iy\) எனில், \(2\cdot5\cdot10\cdots(1+n^2)\) -ன் மதிப்பு :
- அ. \(x^2+y^2\)சரி
- ஆ. 1
- இ. \(1+n^2\)
- ஈ. \(i\)
விளக்கம். இருபுறமும் மட்டு வர்க்கம் எடுக்க: \(|1+i|^2|1+2i|^2\cdots|1+ni|^2 = 2\cdot5\cdot10\cdots(1+n^2) = x^2+y^2\).
\(x^3+px^2+qx+r\) -க்கு \(\alpha, \beta\) மற்றும் \(\gamma\) என்பவை பூச்சியமாக்கிகள் எனில், \(\sum\frac{1}{\alpha}\) -ன் மதிப்பு :
- அ. \(\frac{q}{r}\)
- ஆ. \(-\frac{q}{r}\)சரி
- இ. \(-\frac{q}{p}\)
- ஈ. \(-\frac{p}{r}\)
விளக்கம். \(\sum\frac{1}{\alpha}=\frac{\sum\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}=\frac{q}{-r}=-\frac{q}{r}\).
n = 25 மற்றும் p = 0.8 என்று உள்ள ஈருறுப்பு பரவல் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறி X எனில், X -ன் திட்டவிலக்கத்தின் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{25\times0.8\times0.2}=\sqrt{4}=2\).
A, B மற்றும் C என்பன நேர்மாறு காணத்தக்கவாறு ஏதேனுமொரு வரிசையில் இருப்பின் பின்வருவனவற்றில் எது உண்மையல்ல ?
- அ. \(\det A^{-1}=(\det A)^{-1}\)
- ஆ. \(\text{adj } A=|A|A^{-1}\)
- இ. \((ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)
- ஈ. \(\text{adj }(AB)=(\text{adj } A)(\text{adj } B)\)சரி
விளக்கம். சரியான விதி \(\text{adj}(AB)=(\text{adj } B)(\text{adj } A)\); எனவே (ஈ) உண்மையல்ல; மற்றவை சரியான முடிவுகள்.
\(x^3+64\) -ன் ஒரு பூச்சியமாக்கி :
- அ. \(4i\)
- ஆ. 0
- இ. −4சரி
- ஈ. 4
விளக்கம். \((-4)^3+64=-64+64=0\); எனவே −4 ஒரு பூச்சியமாக்கி.
\(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^8 + \left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^8\) -ன் மதிப்பு :
விளக்கம். \(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 = i\), \(\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^2 = -i\); எனவே கூடுதல் \(i^4 + (-i)^4 = 1 + 1 = 2\).
\(|z| = 1\) எனில் \(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\) -ன் மதிப்பு :
- அ. \(\frac{1}{z}\)
- ஆ. \(z\)சரி
- இ. 1
- ஈ. \(\bar{z}\)
விளக்கம். \(\bar{z} = \frac{1}{z}\) என்பதால் \(\frac{1+z}{1+\frac{1}{z}} = \frac{z(1+z)}{z+1} = z\).
\(\sin^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)\) -ன் முதன்மை மதிப்பு :
- அ. \(\frac{-\pi}{6}\)சரி
- ஆ. 0
- இ. \(\frac{-\pi}{2}\)
- ஈ. \(\frac{\pi}{2}\)
விளக்கம். \(\sin^{-1}\) -ன் முதன்மை வீச்சு \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\); \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
\(\frac{dy}{dx}+p(x)y=0\) -இன் தீர்வு :
- அ. \(x=ce^{-\int p\,dy}\)
- ஆ. \(y=ce^{\int p\,dx}\)
- இ. \(x=ce^{\int p\,dy}\)
- ஈ. \(y=ce^{-\int p\,dx}\)சரி
விளக்கம். மாறிகளைப் பிரிக்க: \(\frac{dy}{y}=-p\,dx\Rightarrow \log y=-\int p\,dx+\log c\), எனவே \(y=ce^{-\int p\,dx}\).
\(\frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}} = 0\) என்ற வகைக்கெழு சமன்பாட்டின் வரிசை மற்றும் படி :
- அ. 2, 6
- ஆ. 2, 3சரி
- இ. 2, 4
- ஈ. 3, 3
விளக்கம். உயர் வரிசை வகைக்கெழு \(\frac{d^2y}{dx^2}\), எனவே வரிசை 2. \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^{\frac{1}{3}} = -\left(\frac{d^2y}{dx^2} + x^{\frac{1}{4}}\right)\) என எழுதி முப்படியாக்க \(\left(\frac{d^2y}{dx^2} + x^{\frac{1}{4}}\right)^3 = -\frac{dy}{dx}\) கிடைக்கிறது; எனவே படி 3.
t என்ற காலத்தில் ஒரு நகரும் 's' துகளின் நிலை \(s(t) = 5t^2 - 2t - 8\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. துகள் ஓய்வு நிலைக்கு வரும் நேரம் :
- அ. 1
- ஆ. 0
- இ. 3
- ஈ. \(\frac{1}{3}\)சரி
விளக்கம். ஓய்வு நிலையில் \(v = s'(t) = 0\). அச்சிடப்பட்டபடி \(10t - 2 = 0\) எனில் \(t = \frac{1}{5}\); இது விடைகளில் இல்லை. வினாத்தாளில் அச்சுப்பிழை உள்ளது: பாடநூல் வினா \(s(t) = 3t^2 - 2t - 8\); அதற்கு \(6t - 2 = 0\) எனில் \(t = \frac{1}{3}\) (எதிர்பார்க்கப்பட்ட விடை).
